Em uma instalação de processamento de alimentos, um contêiner esférico de raio interno r1=40 cm e r2=41 cm e condutividade térmica k=1,5 W / m K é usado para armazenar água quente e mantê-la a 100^circ C. Para isso, a superfície externa do contêiner é envolta por um aquecedor elétrico de 800 W e isolada. A temperatura da superfície interna do contêiner se mantém sempre próxima de 120^circ C. Considerando que 10 % do calor gerado no aquecedor é perdido no isolamento:
Avalie a temperatura da superfície externa do contêiner. Determine também a quantidade de água a 100^circ C que o tanque poderá fornecer constantemente se receber água fria a 20^circ C.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre um contêiner esférico que armazena água quente a 100^circ C. Temos algumas medidas e propriedades térmicas do contêiner e do aquecedor. Vamos precisar usar conceitos de condução de calor e equilíbrio térmico para encontrar a temperatura da superfície externa do contêiner e a quantidade de água que ele pode fornecer constantemente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. O aquecedor de 800 W está rodeando a superfície externa do contêiner. Porém, 10% desse calor é perdido no isolamento. Então, apenas 90% do calor do aquecedor vai aquecer a água dentro do contêiner.

Passo 3

Vamos calcular a potência útil que está aquecendo a água:
Pútil = 0,9 times 800 , W = 720 , W ú

Passo 4

Agora, vamos considerar a condução de calor através das paredes esféricas do contêiner. A transferência de calor por condução em uma esfera é dada pela fórmula:
Q = 4 pi k (Tin - Tout)1r1 - 1r2
Onde:
  • é a potência térmica,
  • é a condutividade térmica,
  • é a temperatura interna,
  • é a temperatura externa,
  • e são os raios interno e externo das paredes.

Passo 5

Vamos rearranjar a fórmula para encontrar Tout = Tin - Q ( 1r1 - 1r2 )4 pi k :

Passo 6

Substituindo os valores:
Tin = 120^circ C
Q = 720 , W
k = 1,5 , W/mK
r1 = 0,40 , m
r2 = 0,41 , m
Tout = 120 - 720 ( 10,40 - 10,41 )4 pi times 1,5

Passo 7

Calculando a parte dentro dos parênteses:
10,40 - 10,41 = 2,5 - 2,439 = 0,061 , m^-1
Então:
Tout = 120 - 720 times 0,06118,8496
Tout = 120 - 43,9218,8496 approx 120 - 2,33 = 117,67^circ C

Passo 8

Agora, vamos determinar a quantidade de água a 100^circ C que o tanque pode fornecer. Sabemos que a água fria entra a 20^circ C. Vamos usar a fórmula de balanço térmico:
Pútil = dotm cdot c cdot (Tfornecida - Tentrada) ú
Onde:
  • é a taxa de fluxo de massa da água,
  • é o calor específico da água,
  • ,
  • .

Passo 9

Rearranjando para encontrar dotm = Pútilc cdot (Tfornecida - Tentrada) :
dotm = 7204186 times (100 - 20) = 7204186 times 80 approx 720334880 approx 0,00215 , kg/s ú
Substituindo os valores:

Resposta

A temperatura da superfície externa do contêiner é aproximadamente 117,67^circ C, e o tanque pode fornecer água a 100^circ C a uma taxa constante de cerca de 0,00215 , kg/s.

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