Em uma instalação de processamento de alimentos, um contêiner esférico de raio interno e e condutividade térmica K é usado para armazenar água quente e mantê-la a . Para isso, a superfície externa do contêiner é envolta por um aquecedor elétrico de 800 W e isolada. A temperatura da superfície interna do contêiner se mantém sempre próxima de . Considerando que do calor gerado no aquecedor é perdido no isolamento:
Avalie a temperatura da superfície externa do contêiner. Determine também a quantidade de água a que o tanque poderá fornecer constantemente se receber água fria a .

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre um contêiner esférico que armazena água quente a . Temos algumas medidas e propriedades térmicas do contêiner e do aquecedor. Vamos precisar usar conceitos de condução de calor e equilíbrio térmico para encontrar a temperatura da superfície externa do contêiner e a quantidade de água que ele pode fornecer constantemente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. O aquecedor de 800 W está rodeando a superfície externa do contêiner. Porém, 10% desse calor é perdido no isolamento. Então, apenas 90% do calor do aquecedor vai aquecer a água dentro do contêiner.

Passo 3

Vamos calcular a potência útil que está aquecendo a água:
ú

Passo 4

Agora, vamos considerar a condução de calor através das paredes esféricas do contêiner. A transferência de calor por condução em uma esfera é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a potência térmica,
  • é a condutividade térmica,
  • é a temperatura interna,
  • é a temperatura externa,
  • e são os raios interno e externo das paredes.

Passo 5

Vamos rearranjar a fórmula para encontrar :

Passo 6

Substituindo os valores:

Passo 7

Calculando a parte dentro dos parênteses:
Então:

Passo 8

Agora, vamos determinar a quantidade de água a que o tanque pode fornecer. Sabemos que a água fria entra a . Vamos usar a fórmula de balanço térmico:
ú
Onde:
  • é a taxa de fluxo de massa da água,
  • é o calor específico da água,
  • ,
  • .

Passo 9

Rearranjando para encontrar :
ú
Substituindo os valores:

Resposta

A temperatura da superfície externa do contêiner é aproximadamente , e o tanque pode fornecer água a a uma taxa constante de cerca de .

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b) Aço - k = K - Resp:
c) Granito K - Resp:
Em uma instalação de processamento de alimentos, um contêiner esférico de raio interno e e condutividade térmica K é usado para armazenar água quente e mantê-la a . Para isso, a superfície externa do contêiner é envolta por um aquecedor elétrico de 800 W e isolada. A temperatura da superfície interna do contêiner se mantém sempre próxima de . Considerando que do calor gerado no aquecedor é perdido no isolamento:
a) Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através do contêiner;
b) Obtenha a relação para a variação da temperatura no contêiner resolvendo a equação diferencial;
c) Avalie a temperatura da superfície externa do contêiner. Determine também a quantidade de água a que o tanque poderá fornecer constantemente se receber água fria a .