Em uma instalação de processamento de alimentos, um contêiner esférico de raio interno r1=40 cm e r2=41 cm e condutividade térmica k=1,5 W / m K é usado para armazenar água quente e mantê-la a 100^circ C. Para isso, a superfície externa do contêiner é envolta por um aquecedor elétrico de 800 W e isolada. A temperatura da superfície interna do contêiner se mantém sempre próxima de 120^circ C. Considerando que 10 % do calor gerado no aquecedor é perdido no isolamento:
a) Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através do contêiner;
b) Obtenha a relação para a variação da temperatura no contêiner resolvendo a equação diferencial;
c) Avalie a temperatura da superfície externa do contêiner. Determine também a quantidade de água a 100^circ C que o tanque poderá fornecer constantemente se receber água fria a 20^circ C.

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre condução de calor em um contêiner esférico usado para armazenar água quente. O problema envolve conceitos de transferência de calor, especificamente condução térmica em regime permanente em geometria esférica. Precisaremos utilizar a equação de condução de calor para esferas, entender as condições de contorno e aplicar conceitos de conservação de energia. Os dados fornecidos incluem os raios interno e externo do contêiner, a condutividade térmica do material, a potência do aquecedor e as temperaturas envolvidas.

Passo 2

Parte a: Expressar a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através do contêiner.
Primeiro, vamos considerar a condução de calor em regime permanente, ou seja, a temperatura não varia com o tempo. Para uma esfera, a equação de condução de calor radial em regime permanente é dada por:
1r^2 ddr ( r^2 dTdr ) = 0
Essa equação simplifica-se para:
ddr ( r^2 dTdr ) = 0
Integrando uma vez:
r^2 dTdr = C1
Onde dTdr = C1r^2 é uma constante de integração.
Dividindo ambos os lados por T(r) = -C1r + C2 :
- k dTdr |r=r2 cdot 4pi r2^2 = 720 , W
Integrando novamente:
Onde é outra constante de integração.
Condições de contorno:
  1. Na superfície interna (r = r₁ = 40 cm):
    A temperatura é mantida a .
  2. Na superfície externa (r = r₂ = 41 cm):
    A potência do aquecedor é de 800 W, mas 10% é perdida no isolamento. Portanto, a potência efetiva transferida para o contêiner é .
A condição de contorno na superfície externa relaciona o fluxo de calor conduzido com a potência transferida:

Passo 3

Parte b: Obter a relação para a variação da temperatura no contêiner resolvendo a equação diferencial.
Já obtivemos a solução geral da equação diferencial:
T(r) = -C1r + C2
Agora, aplicaremos as condições de contorno para determinar as constantes T(r1) = -C1r1 + C2 = 120^circC e dTdr = C1r^2 .
  1. Aplicando a condição de contorno na superfície interna (r = r₁):
- k ( C1r2^2 ) cdot 4pi r2^2 = 720
  1. Aplicando a condição de contorno na superfície externa (r = r₂):
Primeiro, expressamos - k C1 cdot 4pi = 720 :
C1 = -7204pi k = -7204pi times 1,5 = -7206pi = -120pi , W/m
Substituindo na condição de fluxo de calor:
-(-120/pi)0,40 + C2 = 120
Simplificando:
1200,40 pi + C2 = 120
Resolvendo para C2 = 120 - 300pi approx 120 - 95,49 approx 24,51^circC :
T(r) = 120pi r + 24,51
Agora, substituímos na primeira condição de contorno para encontrar :
Portanto, a relação para a variação da temperatura no contêiner é:

Passo 4

Parte c: Avaliar a temperatura da superfície externa do contêiner e determinar a quantidade de água a T(r2) = 120pi times 0,41 + 24,51 que o tanque poderá fornecer constantemente se receber água fria a T(r2) approx 1201,289 + 24,51 approx 93,07 + 24,51 = 117,58^circC .
  1. Temperatura na superfície externa (r = r₂ = 41 cm):
Usando a relação encontrada:
Q = dotm cdot c cdot De
Calculando:
dotm = Qc cdot De
  1. Determinar a quantidade de água a dotV approx 0,00215 , litros/s que o tanque pode fornecer:
Vamos considerar a transferência de calor necessária para aquecer a água fria de dotV approx 0,00215 times 3600 approx 7,74 , litros/hora a .
A potência disponível para aquecer a água é .
A quantidade de água ( ) que pode ser aquecida é dada por:
Onde:
  • (calor específico da água)
Rearranjando para :
Convertendo para litros por segundo (sabendo que 1 kg de água ≈ 1 litro):
Convertendo para litros por hora:

Resposta

A temperatura na superfície externa do contêiner é aproximadamente . O tanque pode fornecer constantemente cerca de litros de água a por hora, ao receber água fria a .

Exercícios relacionados