Em uma instalação de processamento de alimentos, um contêiner esférico de raio interno e e condutividade térmica K é usado para armazenar água quente e mantê-la a . Para isso, a superfície externa do contêiner é envolta por um aquecedor elétrico de 800 W e isolada. A temperatura da superfície interna do contêiner se mantém sempre próxima de . Considerando que do calor gerado no aquecedor é perdido no isolamento:
a) Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através do contêiner;
b) Obtenha a relação para a variação da temperatura no contêiner resolvendo a equação diferencial;
c) Avalie a temperatura da superfície externa do contêiner. Determine também a quantidade de água a que o tanque poderá fornecer constantemente se receber água fria a .
Passo 1
Vamos resolver o exercício sobre condução de calor em um contêiner esférico usado para armazenar água quente. O problema envolve conceitos de transferência de calor, especificamente condução térmica em regime permanente em geometria esférica. Precisaremos utilizar a equação de condução de calor para esferas, entender as condições de contorno e aplicar conceitos de conservação de energia. Os dados fornecidos incluem os raios interno e externo do contêiner, a condutividade térmica do material, a potência do aquecedor e as temperaturas envolvidas.
Passo 2
Parte a: Expressar a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através do contêiner.
Primeiro, vamos considerar a condução de calor em regime permanente, ou seja, a temperatura não varia com o tempo. Para uma esfera, a equação de condução de calor radial em regime permanente é dada por:
Essa equação simplifica-se para:
Integrando uma vez:
Onde é uma constante de integração.
Dividindo ambos os lados por :
Integrando novamente:
Onde é outra constante de integração.
Condições de contorno:
Na superfície interna (r = r₁ = 40 cm):
A temperatura é mantida a .
Na superfície externa (r = r₂ = 41 cm):
A potência do aquecedor é de 800 W, mas 10% é perdida no isolamento. Portanto, a potência efetiva transferida para o contêiner é .
A condição de contorno na superfície externa relaciona o fluxo de calor conduzido com a potência transferida:
Passo 3
Parte b: Obter a relação para a variação da temperatura no contêiner resolvendo a equação diferencial.
Já obtivemos a solução geral da equação diferencial:
Agora, aplicaremos as condições de contorno para determinar as constantes e .
Aplicando a condição de contorno na superfície interna (r = r₁):
Aplicando a condição de contorno na superfície externa (r = r₂):
Primeiro, expressamos :
Substituindo na condição de fluxo de calor:
Simplificando:
Resolvendo para :
Agora, substituímos na primeira condição de contorno para encontrar :
Portanto, a relação para a variação da temperatura no contêiner é:
Passo 4
Parte c: Avaliar a temperatura da superfície externa do contêiner e determinar a quantidade de água a que o tanque poderá fornecer constantemente se receber água fria a .
Temperatura na superfície externa (r = r₂ = 41 cm):
Usando a relação encontrada:
Calculando:
Determinar a quantidade de água a que o tanque pode fornecer:
Vamos considerar a transferência de calor necessária para aquecer a água fria de a .
A potência disponível para aquecer a água é .
A quantidade de água () que pode ser aquecida é dada por:
Onde:
(calor específico da água)
Rearranjando para :
Convertendo para litros por segundo (sabendo que 1 kg de água ≈ 1 litro):
Convertendo para litros por hora:
Resposta
A temperatura na superfície externa do contêiner é aproximadamente . O tanque pode fornecer constantemente cerca de litros de água a por hora, ao receber água fria a .