Em uma instalação de produção, bolas de latão [k=64,1 Btu /(h ft ^circ F) ; rho=532 lbm / ft^3 ; c=0,092 Btu /(Ibm ^circ F)] de 2 polegadas de diâmetro, inicialmente a 250^circ F, são imersas em um banho de água a 120^circ F por um período de 2 minutos a uma taxa de 120 bolas / min. Se o coeficiente de transferência de calor por convecção é 42 Btu /(h ft^2 ^circ F), determine
(a) a temperatura das bolas após a imersão;
(b) a taxa de calor que precisa ser retirada da água, a fim de manter a sua temperatura constante em 120^circ F.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos bolas de latão com certas propriedades físicas que estão sendo mergulhadas em um banho de água. Precisamos descobrir qual será a temperatura final das bolas após um tempo de imersão e também calcular a taxa de calor que precisa ser retirada da água para manter sua temperatura constante. A matéria envolvida aqui é transferência de calor por convecção. Para resolver, vamos precisar usar a lei de resfriamento de Newton e fórmulas de transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Propriedades das bolas de latão:
    • Diâmetro: 2 polegadas (o raio, r, é 1 polegada)
    • Condutividade térmica, Btu/(h·ft·°F)
    • Densidade, lbm/ft³
    • Calor específico, Btu/(lbm·°F)
    • Temperatura inicial, °F
  • Banho de água:
    • Temperatura, á°F
    • Coeficiente de convecção, Btu/(h·ft²·°F)
    • Tempo de imersão, minutos
    • Taxa de imersão, 120 bolas por minuto

Passo 3

Vamos começar calculando a massa de uma bola de latão. Primeiro, precisamos converter o diâmetro de polegadas para pés, já que as unidades de densidade estão em pés cúbicos.
Sabemos que 1 pé = 12 polegadas, então:
r = 1 po<=gada12 = 112 pés é
O volume, V = 43 pi r^3 , de uma esfera é dado por:
V = 43 pi ( 112 )^3 = 43 pi ( 11728 ) = pi1296 ft^3
Substituindo m = rho cdot V = 532 times pi1296 approx 532 times 0,0024248 approx 1,291 lbm :
Agora, a massa, , de uma bola é:

Passo 4

Sabemos que 120 bolas são imersas por minuto, e o tempo total de imersão é de 2 minutos, então o número total de bolas imersas é:
N = 120 times 2 = 240 bolas
A massa total das bolas imersas é:
M = N times m = 240 times 1,291 approx 309,8 lbm

Passo 5

Agora, vamos usar a lei de resfriamento de Newton, que nos diz que a taxa de perda de calor de um objeto é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente:
dQdt = h cdot A cdot (Tbolas - Tágua) á
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor
  • é o coeficiente de convecção
  • é a área de superfície das bolas
  • é a temperatura das bolas
  • á é a temperatura da água

Passo 6

Primeiro, vamos calcular a área de superfície de todas as bolas. A área de superfície de uma esfera é:
Abola = 4 pi r^2
Para uma bola:
Abola = 4 pi ( 112 )^2 = 4 pi ( 1144 ) = pi36 ft^2
Para 240 bolas:
Atotal = 240 times pi36 = 24036 pi = 203 pi approx 20.94395 ft^2

Passo 7

Agora, vamos relacionar a quantidade de calor perdida pelas bolas ao seu resfriamento. A quantidade de calor Q = M cdot c cdot De perdida é:
Q = 309,8 times 0,092 times (250 - Tf)
Onde:
  • é a massa total
  • é o calor específico
  • é a variação de temperatura
Como as bolas estão esfriando de °F até uma temperatura final , temos:

Passo 8

A quantidade de calor transferida pela convecção é dada por:
Q = h cdot A cdot De
Precisamos converter o tempo de minutos para horas:
t = 2 minutos = 260 horas = 130 horas
Então:
Q = 42 times 20.94395 times (250 - 120) times 130
Calculando a diferença de temperatura:
De
Substituindo:
Q = 42 times 20.94395 times 130 times 130 approx 42 times 20.94395 times 4.3333 approx 42 times 90.714 approx 3809,988 Btu

Passo 9

Igualamos as duas expressões de 309,8 times 0,092 times (250 - Tf) = 3809,988 :
309,8 times 0,092 approx 28,5016
Calculando o lado esquerdo:
28,5016 times (250 - Tf) = 3809,988
Então:
250 - Tf = 3809,98828,5016 approx 133,66
Resolvendo para Tf = 250 - 133,66 approx 116,34 °F :

Resposta

A temperatura das bolas após a imersão de 2 minutos será aproximadamente 116,34 °F.

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