Em uma instalação de produção, bolas de latão
de 2 polegadas de diâmetro, inicialmente a
, são imersas em um banho de água a
por um período de 2 minutos a uma taxa de 120 bolas
. Se o coeficiente de transferência de calor por convecção é
, determine
(a) a temperatura das bolas após a imersão;
(b) a taxa de calor que precisa ser retirada da água, a fim de manter a sua temperatura constante em
.
(a) a temperatura das bolas após a imersão;
(b) a taxa de calor que precisa ser retirada da água, a fim de manter a sua temperatura constante em
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos bolas de latão com certas propriedades físicas que estão sendo mergulhadas em um banho de água. Precisamos descobrir qual será a temperatura final das bolas após um tempo de imersão e também calcular a taxa de calor que precisa ser retirada da água para manter sua temperatura constante. A matéria envolvida aqui é transferência de calor por convecção. Para resolver, vamos precisar usar a lei de resfriamento de Newton e fórmulas de transferência de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que temos:
-
Propriedades das bolas de latão:
- Diâmetro: 2 polegadas (o raio, r, é 1 polegada)
- Condutividade térmica,
Btu/(h·ft·°F) - Densidade,
lbm/ft³ - Calor específico,
Btu/(lbm·°F) - Temperatura inicial,
°F
-
Banho de água:
- Temperatura,
°F - Coeficiente de convecção,
Btu/(h·ft²·°F) - Tempo de imersão,
minutos - Taxa de imersão, 120 bolas por minuto
- Temperatura,
Passo 3
Vamos começar calculando a massa de uma bola de latão. Primeiro, precisamos converter o diâmetro de polegadas para pés, já que as unidades de densidade estão em pés cúbicos.
Sabemos que 1 pé = 12 polegadas, então:
O volume,
, de uma esfera é dado por:
Substituindo
:
Agora, a massa,
, de uma bola é:
Passo 4
Sabemos que 120 bolas são imersas por minuto, e o tempo total de imersão é de 2 minutos, então o número total de bolas imersas é:
A massa total das bolas imersas é:
Passo 5
Agora, vamos usar a lei de resfriamento de Newton, que nos diz que a taxa de perda de calor de um objeto é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente:
Onde:
-
é a taxa de transferência de calor -
é o coeficiente de convecção -
é a área de superfície das bolas -
é a temperatura das bolas -
é a temperatura da água
Passo 6
Primeiro, vamos calcular a área de superfície de todas as bolas. A área de superfície de uma esfera é:
Para uma bola:
Para 240 bolas:
Passo 7
Agora, vamos relacionar a quantidade de calor perdida pelas bolas ao seu resfriamento. A quantidade de calor
perdida é:
Onde:
-
é a massa total -
é o calor específico -
é a variação de temperatura
Como as bolas estão esfriando de
°F até uma temperatura final
, temos:
Passo 8
A quantidade de calor transferida pela convecção é dada por:
Precisamos converter o tempo de minutos para horas:
Então:
Calculando a diferença de temperatura:
Substituindo:
Passo 9
Igualamos as duas expressões de
:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Resolvendo para
:
Resposta
A temperatura das bolas após a imersão de 2 minutos será aproximadamente 116,34 °F.