No mesmo instante em que um objeto de 5,0 kg cai de uma altura de 50 m , um segundo objeto, com uma massa de 2,5 kg, é jogado diretamente para cima do solo, com uma velocidade inicial de 20 m / s. Eles se movem ao longo de linhas muito próximas e passam sem colidir. No instante t=3,0 s, calcule a velocidade e a posição do centro de massa do sistema.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos dois objetos, um de 5,0 kg caindo de uma altura de 50 m e outro de 2,5 kg sendo lançado para cima com uma velocidade inicial de 20 m/s. Queremos encontrar, no instante t = 3,0 s, a velocidade e a posição do centro de massa do sistema formado por esses dois objetos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Centro de Massa e Movimento Uniformemente Acelerado sob a ação da gravidade. Precisaremos calcular a posição e a velocidade de cada objeto após 3 segundos e então determinar as características do centro de massa com base nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a posição e a velocidade do objeto que está caindo (massa m₁ = 5,0 kg).
Como o objeto está caindo livremente, a única aceleração é a da gravidade, que vamos considerar como v1 = g t para baixo.
A velocidade após t segundos é dada por:
y1 = y0 - 12 g t^2
E a posição (a partir do ponto de início, que é 50 m acima do solo) é:
onde .

Passo 3

Agora, vamos calcular a posição e a velocidade do objeto que foi lançado para cima (massa m₂ = 2,5 kg).
Para esse objeto, a aceleração também é v2 = v0 - g t (porque a gravidade está puxando para baixo), mas ele tem uma velocidade inicial para cima.
A velocidade após t segundos é:
y2 = v0 t - 12 g t^2
E a posição é:
onde .

Passo 4

Vamos agora calcular os valores numéricos para t = 3,0 s.
Para o objeto 1:
v1 = 9,8 times 3,0 = 29,4 , m/s
y1 = 50 - 12 times 9,8 times (3,0)^2 = 50 - 12 times 9,8 times 9 = 50 - 44,1 = 5,9 , m
Para o objeto 2:
v2 = 20 - 9,8 times 3,0 = 20 - 29,4 = -9,4 , m/s
y2 = 20 times 3,0 - 12 times 9,8 times (3,0)^2 = 60 - 44,1 = 15,9 , m

Passo 5

Agora, vamos calcular o centro de massa do sistema. As fórmulas para a posição ( Ycm = m1 y1 + m2 y2m1 + m2 ) e velocidade ( Vcm = m1 v1 + m2 v2m1 + m2 ) do centro de massa são:
Ycm = 5,0 times 5,9 + 2,5 times 15,95,0 + 2,5 = 29,5 + 39,757,5 = 69,257,5 approx 9,23 , m
Vcm = 5,0 times 29,4 + 2,5 times (-9,4)5,0 + 2,5 = 147 - 23,57,5 = 123,57,5 approx 16,47 , m/s
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

No instante de 3,0 s, o centro de massa do sistema está a aproximadamente 9,23 metros acima do solo e se move com uma velocidade de cerca de 16,47 m/s para baixo.

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