No instante , a pá de lado tem ângulo de com a horizontal no sentido anti-horário. Em quais instantes de tempo essa pá cruzará a semirreta horizontal à direita do ponto O antes de parar e inverter o movimento?

Passo 1

Vamos entender o problema! Temos uma pá de um pêndulo que, no instante inicial , está fazendo um ângulo de com a horizontal, indo no sentido anti-horário. Nosso objetivo é descobrir em quais instantes de tempo essa pá vai cruzar a linha horizontal à direita do ponto O antes que ela pare e comece a se mover na direção oposta. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS) e as equações que descrevem o movimento de um pêndulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o movimento do pêndulo pode ser descrito por uma função de seno ou cosseno, que representa a variação do ângulo em relação ao tempo. A equação geral para o ângulo em um MHS é:
Onde:
  • é a amplitude do movimento (máximo desvio do equilíbrio),
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.

Passo 3

No nosso caso, sabemos que no instante , o ângulo e a velocidade angular é zero (pois está no ponto mais alto do movimento). Isso significa que a fase inicial e a equação simplifica para:

Passo 4

Queremos encontrar os tempos quando a pá cruza a horizontal à direita de O. Isso acontece quando . Vamos igualar a equação a zero:

Passo 5

A função cosseno é igual a zero quando seu argumento é , onde é um número inteiro. Então:

Passo 6

Para encontrar , usamos a relação entre frequência angular e período:
Onde é o período do pêndulo. Se não for dado, assumimos que temos informações suficientes para continuar. Supondo que o pêndulo não tem atrito e continua se movendo indefinidamente, os momentos em que cruza a horizontal serão infinitos, mas queremos os instantes antes de parar e inverter o movimento.

Passo 7

Considerando apenas o primeiro ciclo antes de inverter, temos . Assim:

Resposta

A pá do pêndulo cruzará a linha horizontal à direita de O no instante , onde é o período do pêndulo.

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