No instante
tanque contém
de solução contendo 1 grama de corante por litro. Água pura entra no tanque à razão de
e mistura sai à mesma razão.
Encontre a equação diferencial para a quantidade
de corante no tanque em cada instante (note que a taxa de variação de
é igual a quantidade que entra menos a que sai do tanque em cada instante )
Encontre a equação diferencial para a quantidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um tanque que tem uma solução de corante e água entrando e saindo dele. A gente precisa encontrar uma equação diferencial que descreva a quantidade de corante
no tanque a cada instante de tempo. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de taxas de variação e equilíbrio de fluxo, ou seja, como a quantidade de corante muda ao longo do tempo com a entrada e saída da mistura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo no tanque. Inicialmente, há 200 litros de solução com 1 grama de corante por litro. Então, a quantidade inicial de corante é:
Passo 3
Agora, a água pura está entrando no tanque à taxa de 2 litros por minuto. Como é água pura, ela não adiciona corante ao tanque. Portanto, a taxa de entrada de corante é zero.
Passo 4
Por outro lado, a mistura do tanque está saindo à mesma taxa de 2 litros por minuto. Essa mistura contém o corante que está no tanque. A concentração de corante na mistura que sai é igual à concentração atual no tanque, ou seja,
gramas por litro.
Então, a taxa de saída de corante é:
Passo 5
A taxa de variação da quantidade de corante no tanque,
, é igual à taxa de entrada menos a taxa de saída. Como a taxa de entrada é zero e a taxa de saída é
:
Resposta
A equação diferencial que descreve a quantidade de corante no tanque em cada instante é: