Seja
a temperatura no instante
de um corpo imerso em um meio de temperatura constante
. A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de
é diretamente proporcional à diferença
, isto é,
. Considere um corpo aquecido a
é posto em um ambiente a
e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de
.
Encontre a expressão de
como função de
Encontre a expressão de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema envolvendo a Lei do Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em contato com um ambiente de temperatura constante. O que queremos é encontrar uma expressão que mostra como a temperatura do corpo,
, varia com o tempo
.
Passo 2
A Lei do Resfriamento de Newton é representada pela equação diferencial:
Aqui,
é a temperatura do corpo no tempo
,
é a temperatura do meio ambiente, e
é uma constante positiva que depende das propriedades do corpo e do meio.
Passo 3
Primeiro, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar
. Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
:
Isso facilita a integração dos dois lados da equação.
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo resulta em
, e a do lado direito em
, onde
é a constante de integração. Então:
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, elevamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar
como uma nova constante
:
Passo 6
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar
e
. Sabemos que quando
,
:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Também sabemos que após 5 minutos, a temperatura é
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Resposta
A expressão da temperatura
em função do tempo é:
onde
.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Esboce o gráfico da seguinte função
.
Resolva as equações diferenciais abaixo:
No instante
tanque contém
de solução contendo 1 grama de corante por litro. Água pura entra no tanque à razão de
e mistura sai à mesma razão.
Encontre a equação diferencial para a quantidade de corante no tanque em cada instante (note que a taxa de variação de
é igual a quantidade que entra menos a que sai do tanque em cada instante )
Encontre a equação diferencial para a quantidade