Seja a temperatura no instante de um corpo imerso em um meio de temperatura constante . A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de é diretamente proporcional à diferença , isto é, . Considere um corpo aquecido a é posto em um ambiente a e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de .
Encontre a expressão de como função de

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema envolvendo a Lei do Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em contato com um ambiente de temperatura constante. O que queremos é encontrar uma expressão que mostra como a temperatura do corpo, , varia com o tempo .

Passo 2

A Lei do Resfriamento de Newton é representada pela equação diferencial:
Aqui, é a temperatura do corpo no tempo , é a temperatura do meio ambiente, e é uma constante positiva que depende das propriedades do corpo e do meio.

Passo 3

Primeiro, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar . Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e :
Isso facilita a integração dos dois lados da equação.

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo resulta em , e a do lado direito em , onde é a constante de integração. Então:

Passo 5

Vamos resolver para . Primeiro, elevamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar como uma nova constante :

Passo 6

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar e . Sabemos que quando , :
Então, a expressão fica:

Passo 7

Também sabemos que após 5 minutos, a temperatura é :
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Resposta

A expressão da temperatura em função do tempo é:
onde .

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Resolva as equações diferenciais abaixo:
Esboce o gráfico da seguinte função .
Resolva as equações diferenciais abaixo:
No instante tanque contém de solução contendo 1 grama de corante por litro. Água pura entra no tanque à razão de e mistura sai à mesma razão.
Encontre a equação diferencial para a quantidade de corante no tanque em cada instante (note que a taxa de variação de é igual a quantidade que entra menos a que sai do tanque em cada instante )