Uma população de mosquitos, na ausência de outros fatores, aumenta a uma razão em cada instante proporcional à população corrente.
Sabendo que a população dobra a cada semana e que no instante inicia
é de 200.000 indivíduos, encontre a expressão do número de indivíduos em função do tempo. Observação: Os dados do problema nos permitem dizer que
Sabendo que a população dobra a cada semana e que no instante inicia
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre crescimento populacional de mosquitos. A questão diz que a população cresce de forma proporcional à população atual, o que é um clássico caso de crescimento exponencial. Para resolver isso, vamos precisar usar equações diferenciais e entender um pouquinho de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que descreve esse crescimento. A taxa de variação da população em relação ao tempo é proporcional à população atual. Matemáticamente, isso fica assim:
Aqui,
é o número de mosquitos no tempo
e
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação
é uma equação diferencial de primeira ordem e solução geral é uma função exponencial. Integrando ambos os lados, temos:
Onde
é a população inicial no tempo
.
Passo 4
Sabemos que no tempo inicial
, a população é de 200.000 mosquitos. Vamos substituir isso na nossa equação para encontrar
:
Então, a equação fica:
Passo 5
A próxima informação que temos é que a população dobra a cada semana. Isso significa que depois de uma semana (
), a população será:
Vamos usar isso para encontrar
. Substituindo na equação:
Agora, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para resolver para
:
Resposta
Finalmente, substituindo
de volta na equação da população, temos a expressão do número de mosquitos em função do tempo:
Então, a quantidade de mosquitos após
semanas é dada por:
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais abaixo:
No instante
tanque contém
de solução contendo 1 grama de corante por litro. Água pura entra no tanque à razão de
e mistura sai à mesma razão.
Encontre a equação diferencial para a quantidade de corante no tanque em cada instante (note que a taxa de variação de
é igual a quantidade que entra menos a que sai do tanque em cada instante )
Encontre a equação diferencial para a quantidade
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Resolva as equações diferenciais abaixo: