Uma população de mosquitos, na ausência de outros fatores, aumenta a uma razão em cada instante proporcional à população corrente.
Sabendo que a população dobra a cada semana e que no instante inicia é de 200.000 indivíduos, encontre a expressão do número de indivíduos em função do tempo. Observação: Os dados do problema nos permitem dizer que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre crescimento populacional de mosquitos. A questão diz que a população cresce de forma proporcional à população atual, o que é um clássico caso de crescimento exponencial. Para resolver isso, vamos precisar usar equações diferenciais e entender um pouquinho de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que descreve esse crescimento. A taxa de variação da população em relação ao tempo é proporcional à população atual. Matemáticamente, isso fica assim:
Aqui, é o número de mosquitos no tempo e é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação é uma equação diferencial de primeira ordem e solução geral é uma função exponencial. Integrando ambos os lados, temos:
Onde é a população inicial no tempo .

Passo 4

Sabemos que no tempo inicial , a população é de 200.000 mosquitos. Vamos substituir isso na nossa equação para encontrar :
Então, a equação fica:

Passo 5

A próxima informação que temos é que a população dobra a cada semana. Isso significa que depois de uma semana ( ), a população será:
Vamos usar isso para encontrar . Substituindo na equação:
Agora, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados para resolver para :

Resposta

Finalmente, substituindo de volta na equação da população, temos a expressão do número de mosquitos em função do tempo:
Então, a quantidade de mosquitos após semanas é dada por:

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais abaixo:
No instante tanque contém de solução contendo 1 grama de corante por litro. Água pura entra no tanque à razão de e mistura sai à mesma razão.
Encontre a equação diferencial para a quantidade de corante no tanque em cada instante (note que a taxa de variação de é igual a quantidade que entra menos a que sai do tanque em cada instante )
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Resolva as equações diferenciais abaixo: