Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Isso está dentro do assunto de Equações Diferenciais, mais especificamente, uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Nosso objetivo é separar os termos com
dos termos com
.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração de
é
, e a integração de
é
. Então, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos simplificar a equação acima para isolar
. Primeiro, podemos multiplicar todos os termos por
:
Em seguida, tiramos o inverso de ambos os lados para resolver para
:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
No instante
tanque contém
de solução contendo 1 grama de corante por litro. Água pura entra no tanque à razão de
e mistura sai à mesma razão.
Encontre a equação diferencial para a quantidade de corante no tanque em cada instante (note que a taxa de variação de
é igual a quantidade que entra menos a que sai do tanque em cada instante )
Encontre a equação diferencial para a quantidade
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Uma população de mosquitos, na ausência de outros fatores, aumenta a uma razão em cada instante proporcional à população corrente.
Sabendo que a população dobra a cada semana e que no instante inicia é de 200.000 indivíduos, encontre a expressão do número de indivíduos em função do tempo. Observação: Os dados do problema nos permitem dizer que
Sabendo que a população dobra a cada semana e que no instante inicia
Resolva as equações diferenciais abaixo: