Resolva as equações diferenciais abaixo: y' = y^2 / x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Isso está dentro do assunto de Equações Diferenciais, mais especificamente, uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a derivada de em relação a , ou seja, . Nosso objetivo é separar os termos com dos termos com .

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração de é , e a integração de é . Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a equação acima para isolar . Primeiro, podemos multiplicar todos os termos por :
Em seguida, tiramos o inverso de ambos os lados para resolver para :
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante arbitrária.

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