Em que instante de tempo a energia armazena no capacitor será igual a metade do seu valor inicial? (sugestão: lembrem-se de que a energia armazenada em um capacitor é dada por U=q^2 /(2 C) ); (1 ponto)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir em que momento a energia armazenada em um capacitor será igual a metade da energia que ele tinha inicialmente. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da energia armazenada em um capacitor, que é U = q^22 C. Precisaremos entender como a carga no capacitor muda com o tempo.

Passo 2

Quando um capacitor está descarregando através de um resistor, a carga nele diminui exponencialmente com o tempo. A fórmula que descreve essa descarga é:
q(t) = Q0 , e^-tRC
Aqui, Q0 é a carga inicial, R é a resistência, C é a capacitância, e t é o tempo.

Passo 3

A energia armazenada no capacitor em qualquer instante t é dada por:
U(t) = q^2(t)2 C = (Q0 , e^-tRC)^22 C = Q0^2 , e^-2tRC2 C

Passo 4

Queremos que a energia U(t) seja metade da energia inicial U0. Sabemos que U0 = Q0^22 C. Então, montamos a equação:
Q0^2 , e^-2tRC2 C = 12 cdot Q0^22 C

Passo 5

Simplificando a equação:
e^-2tRC = 12
Agora, para resolver para t, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
-2tRC = ln(12)

Passo 6

Resolvendo para t:
t = -RC2 ln(12) = RC2 ln(2)

Resposta

O instante de tempo em que a energia armazenada no capacitor é igual à metade do valor inicial é:
t = RC2 ln(2)

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