Usando as relações e
,
faça o cálculo da integral
e obtenha .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral que envolve a função de probabilidade e queremos calcular essa integral para chegar à expressão . Aqui, estamos lidando com conceitos de probabilidade e física térmica, especificamente relacionados à distribuição de energia. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de integral sobre uma distribuição de probabilidade e entender como relacionar isso com a energia térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Essa é uma condição comum em probabilidade, onde a integral da função de densidade de probabilidade sobre todo o intervalo de possíveis valores de energia deve ser igual a 1. Isso significa que a soma (ou integral) das probabilidades de todos os eventos possíveis deve totalizar 100%.

Passo 3

Agora, queremos calcular a integral que nos levará a . Para isso, vamos considerar que representa a energia média do sistema. A energia média é calculada multiplicando cada valor de energia pela sua probabilidade e integrando sobre todo o intervalo de energias:

Passo 4

Sabemos da teoria da física que, em sistemas em equilíbrio térmico, a energia média está relacionada à temperatura pelo constante de Boltzmann . Ou seja:
Isso significa que a energia média de um sistema é diretamente proporcional à sua temperatura.

Passo 5

Portanto, ao calcular a integral da energia multiplicada pela sua densidade de probabilidade, chegamos à conclusão de que a energia média é igual a .

Resposta

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