Usando as relações e
,
faça o cálculo da integral
e obtenha
.
faça o cálculo da integral
e obtenha
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral que envolve a função de probabilidade
e queremos calcular essa integral para chegar à expressão
. Aqui, estamos lidando com conceitos de probabilidade e física térmica, especificamente relacionados à distribuição de energia. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de integral sobre uma distribuição de probabilidade e entender como relacionar isso com a energia térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Essa é uma condição comum em probabilidade, onde a integral da função de densidade de probabilidade
sobre todo o intervalo de possíveis valores de energia
deve ser igual a 1. Isso significa que a soma (ou integral) das probabilidades de todos os eventos possíveis deve totalizar 100%.
Passo 3
Agora, queremos calcular a integral que nos levará a
. Para isso, vamos considerar que
representa a energia média do sistema. A energia média é calculada multiplicando cada valor de energia
pela sua probabilidade
e integrando sobre todo o intervalo de energias:
Passo 4
Sabemos da teoria da física que, em sistemas em equilíbrio térmico, a energia média está relacionada à temperatura
pelo constante de Boltzmann
. Ou seja:
Isso significa que a energia média de um sistema é diretamente proporcional à sua temperatura.
Passo 5
Portanto, ao calcular a integral da energia multiplicada pela sua densidade de probabilidade, chegamos à conclusão de que a energia média
é igual a
.