The motion of a particle on the plane is described by the coordinates x=a t, y=b t-12 g t^2, where x and y are Cartesian coordinates on the plane, and t is the time. Determine the tangential acceleration module of the particle at an instant when its velocity has module v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o movimento de uma partícula no plano descrito pelas coordenadas e , onde e são as coordenadas cartesianas, e é o tempo. Queremos determinar o módulo da aceleração tangencial da partícula em um instante em que a velocidade dela tem módulo .
Matéria envolvida: Cinemática do movimento, especificamente aceleração tangencial.
O que vamos precisar:
  • Derivar as funções de posição para encontrar velocidade e aceleração.
  • Usar fórmulas de aceleração tangencial.
  • Manipular expressões algébricas para isolar a aceleração tangencial em termos de .

Passo 2

Vamos começar encontrando as componentes da velocidade da partícula. Para isso, derivamos as funções de posição em relação ao tempo vx = dxdt = a .
vy = dydt = b - g t
Então, a velocidade vetorial é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as componentes da aceleração da partícula, derivando as componentes da velocidade em relação ao tempo.
ax = dvxdt = 0
ay = dvydt = -g
Assim, a aceleração vetorial é .

Passo 4

A aceleração tangencial ( at = v cdot a|v| ) é a componente da aceleração que está na direção da velocidade. Ela pode ser calculada usando o produto escalar entre os vetores velocidade e aceleração, dividido pelo módulo da velocidade:
v cdot a = a cdot 0 + (b - g t) cdot (-g) = -g (b - g t)
Calculando o produto escalar:
v = raiza^2 + (b - g t)^2
O módulo da velocidade at = -g (b - g t)v é:
|at| = g |b - g t|v
Então,
Como queremos o módulo da aceleração tangencial, consideramos o valor absoluto:

Passo 5

Queremos expressar v^2 = a^2 + (b - g t)^2 em termos de b - g t = raizv^2 - a^2 . Observando que:
|at| = g raizv^2 - a^2v
Podemos resolver para :
Substituindo na expressão de :

Resposta

O módulo da aceleração tangencial da partícula no instante em que sua velocidade é at = g raizv^2 - a^2v é dado por:

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