The motion of a particle on the plane is described by the coordinates
, where
and
are Cartesian coordinates on the plane, and
is the time. Determine the tangential acceleration module of the particle at an instant when its velocity has module
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o movimento de uma partícula no plano descrito pelas coordenadas
e
, onde
e
são as coordenadas cartesianas, e
é o tempo. Queremos determinar o módulo da aceleração tangencial da partícula em um instante em que a velocidade dela tem módulo
.
Matéria envolvida: Cinemática do movimento, especificamente aceleração tangencial.
O que vamos precisar:
- Derivar as funções de posição para encontrar velocidade e aceleração.
- Usar fórmulas de aceleração tangencial.
- Manipular expressões algébricas para isolar a aceleração tangencial em termos de
.
Passo 2
Vamos começar encontrando as componentes da velocidade da partícula. Para isso, derivamos as funções de posição em relação ao tempo
.
Então, a velocidade vetorial é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as componentes da aceleração da partícula, derivando as componentes da velocidade em relação ao tempo.
Assim, a aceleração vetorial é
.
Passo 4
A aceleração tangencial (
) é a componente da aceleração que está na direção da velocidade. Ela pode ser calculada usando o produto escalar entre os vetores velocidade e aceleração, dividido pelo módulo da velocidade:
Calculando o produto escalar:
O módulo da velocidade
é:
Então,
Como queremos o módulo da aceleração tangencial, consideramos o valor absoluto:
Passo 5
Queremos expressar
em termos de
. Observando que:
Podemos resolver para
:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
O módulo da aceleração tangencial da partícula no instante em que sua velocidade é
é dado por: