The motion of a particle on the plane is described by the coordinates , where and are Cartesian coordinates on the plane, and is the time. Determine the tangential acceleration module of the particle at an instant when its velocity has module .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o movimento de uma partícula no plano descrito pelas coordenadas e , onde e são as coordenadas cartesianas, e é o tempo. Queremos determinar o módulo da aceleração tangencial da partícula em um instante em que a velocidade dela tem módulo .
Matéria envolvida: Cinemática do movimento, especificamente aceleração tangencial.
O que vamos precisar:
Derivar as funções de posição para encontrar velocidade e aceleração.
Usar fórmulas de aceleração tangencial.
Manipular expressões algébricas para isolar a aceleração tangencial em termos de .
Passo 2
Vamos começar encontrando as componentes da velocidade da partícula. Para isso, derivamos as funções de posição em relação ao tempo .
Então, a velocidade vetorial é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as componentes da aceleração da partícula, derivando as componentes da velocidade em relação ao tempo.
Assim, a aceleração vetorial é .
Passo 4
A aceleração tangencial () é a componente da aceleração que está na direção da velocidade. Ela pode ser calculada usando o produto escalar entre os vetores velocidade e aceleração, dividido pelo módulo da velocidade:
Calculando o produto escalar:
O módulo da velocidade é:
Então,
Como queremos o módulo da aceleração tangencial, consideramos o valor absoluto:
Passo 5
Queremos expressar em termos de . Observando que:
Podemos resolver para :
Substituindo na expressão de :
Resposta
O módulo da aceleração tangencial da partícula no instante em que sua velocidade é é dado por: