The motion of a particle on the plane is described by the coordinates , where and are Cartesian coordinates on the plane, and is the time. Determine the tangential acceleration module of the particle at an instant when its velocity has module .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o movimento de uma partícula no plano descrito pelas coordenadas e , onde e são as coordenadas cartesianas, e é o tempo. Queremos determinar o módulo da aceleração tangencial da partícula em um instante em que a velocidade dela tem módulo .
Matéria envolvida: Cinemática do movimento, especificamente aceleração tangencial.
O que vamos precisar:
  • Derivar as funções de posição para encontrar velocidade e aceleração.
  • Usar fórmulas de aceleração tangencial.
  • Manipular expressões algébricas para isolar a aceleração tangencial em termos de .

Passo 2

Vamos começar encontrando as componentes da velocidade da partícula. Para isso, derivamos as funções de posição em relação ao tempo .
Então, a velocidade vetorial é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as componentes da aceleração da partícula, derivando as componentes da velocidade em relação ao tempo.
Assim, a aceleração vetorial é .

Passo 4

A aceleração tangencial ( ) é a componente da aceleração que está na direção da velocidade. Ela pode ser calculada usando o produto escalar entre os vetores velocidade e aceleração, dividido pelo módulo da velocidade:
Calculando o produto escalar:
O módulo da velocidade é:
Então,
Como queremos o módulo da aceleração tangencial, consideramos o valor absoluto:

Passo 5

Queremos expressar em termos de . Observando que:
Podemos resolver para :
Substituindo na expressão de :

Resposta

O módulo da aceleração tangencial da partícula no instante em que sua velocidade é é dado por:

Exercícios relacionados

Show that if a rigid body moves in relation to a reference frame , then there exists a linear transformation that maps a vector , fixed in the body, into its time derivative in . That is, for every vector fixed in , its time rate in , , can be written as
Hint: Adopt an orthonormal basis , fixed in , in order to decompose the angular velocity vector of the body as
and define a tensor T that, on the same basis, is expressed by the antisymmetric matrix
Find the initial radius of curvature of the trajectory of the plane motion of a particle described by the time functions: , where and are the coordinates of the particle in the plane, in meters, and parameter is the time, in seconds.
Em relação as tensões principais do ponto A, determine a tensão média e o raio do círculo de Mohr:
Um instrumento de está montado sobre 4 molas em paralelo, sem amortecimento. Se a amplitude de vibração vertical da base das molas é 1 mm , calcule a faixa de frequência da vibração da base que deve ser proibida para que a amplitude de vibração vertical do instrumento não exceda . Cada mola possui .