Integração Direta e Equações Separáveis: Integrar as seguintes ED
d) .

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma equação diferencial que relaciona a derivada de em relação a com uma expressão que envolve e . O conteúdo aqui é Integração Direta e Equações Separáveis, e vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e em lados diferentes da equação para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e dividindo por :
Agora, temos de um lado e do outro, prontos para integrar.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de em relação a é :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, queremos expressar em função de . Para isso, aplicamos a função tangente dos dois lados:
Sabemos que , então podemos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica da soma de ângulos para a tangente:
Vamos chamar de outra constante, digamos , para deixar a resposta mais clara:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
onde é uma constante arbitrária.

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a) .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
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f) .