Integração Direta e Equações Separáveis: Integrar as seguintes ED
d)
.
d)
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver uma equação diferencial que relaciona a derivada de
em relação a
com uma expressão que envolve
e
. O conteúdo aqui é Integração Direta e Equações Separáveis, e vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Agora, temos
de um lado e
do outro, prontos para integrar.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
é
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, queremos expressar
em função de
. Para isso, aplicamos a função tangente dos dois lados:
Sabemos que
, então podemos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica da soma de ângulos para a tangente:
Vamos chamar
de outra constante, digamos
, para deixar a resposta mais clara:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária.
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a) .
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Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
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f) .
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