Integração Numérica: Método de Euler
Para estimar a posição x e a velocidade v em um determinado tempo t, dividese inicialmente t em uma grande quantidade de pequenos intervalos, cada um de comprimento De. A aceleração inicial a0 é, então, calculada a partir da posição inicial x0 e da velocidade inicial v0. A posição x1 e a velocidade v1 no tempo t1=t0+De são estimados utilizando as relações
xn+1=xn+vn De
e
vn+1=vn+an De
com n=0. A aceleração an+1 é calculada utilizando os valores de xn+1 e vn+1 e e processo é repetido. Essa sistemática continua até as estimativas da posição da velocidade no tempo t serem calculadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre Integração Numérica, mais especificamente o Método de Euler. A ideia é estimar a posição e a velocidade de um objeto em um certo tempo . Para isso, a gente divide o tempo total em pequenos intervalos de tempo, chamados , e vai calculando passo a passo como a posição e a velocidade mudam. Vamos precisar das fórmulas do Método de Euler e entender como calcular aceleração a partir da posição e velocidade.

Passo 2

Primeiro, a gente começa com as condições iniciais: a posição inicial e a velocidade inicial . A partir daí, calculamos a aceleração inicial . A aceleração geralmente vem da segunda lei de Newton, onde , mas no contexto do exercício, vamos assumir que já temos .

Passo 3

Agora, para encontrar a posição x1 = x0 + v0 De e a velocidade v1 = v0 + a0 De no próximo intervalo de tempo , usamos as fórmulas do Método de Euler:
Essas fórmulas basicamente dizem que a nova posição é a posição anterior mais a velocidade multiplicada pelo intervalo de tempo, e a nova velocidade é a velocidade anterior mais a aceleração multiplicada pelo intervalo de tempo.

Passo 4

Depois de calcular e , precisamos encontrar a aceleração no novo ponto, . Para isso, usamos os valores de e na expressão da aceleração, que pode depender de como a força atua sobre o objeto. Se, por exemplo, a força depende da posição ou velocidade, a aceleração também mudará.

Passo 5

Repetimos o processo: com x2 = x1 + v1 De, v2 = v1 + a1 De e , calculamos e usando as mesmas fórmulas:
E assim por diante, até chegar no tempo que queremos estimar.

Passo 6

Continuamos esse processo de atualização das posições e velocidades a cada intervalo , recalculando a aceleração com os novos valores e avançando para o próximo passo. Isso nos permite construir uma aproximação da trajetória e da velocidade do objeto ao longo do tempo.

Resposta

Seguindo o Método de Euler, dividindo o tempo em pequenos intervalos e atualizando posição e velocidade passo a passo, conseguimos estimar a posição e a velocidade no tempo desejado .

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