Integração Numérica: Método de Euler
Para estimar a posição
e a velocidade
em um determinado tempo
, dividese inicialmente
em uma grande quantidade de pequenos intervalos, cada um de comprimento
. A aceleração inicial
é, então, calculada a partir da posição inicial
e da velocidade inicial
. A posição
e a velocidade
no tempo
são estimados utilizando as relações
e
com
. A aceleração
é calculada utilizando os valores de
e e processo é repetido. Essa sistemática continua até as estimativas da posição da velocidade no tempo
serem calculadas.
Para estimar a posição
e
com
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre Integração Numérica, mais especificamente o Método de Euler. A ideia é estimar a posição
e a velocidade
de um objeto em um certo tempo
. Para isso, a gente divide o tempo total em pequenos intervalos de tempo, chamados
, e vai calculando passo a passo como a posição e a velocidade mudam. Vamos precisar das fórmulas do Método de Euler e entender como calcular aceleração a partir da posição e velocidade.
Passo 2
Primeiro, a gente começa com as condições iniciais: a posição inicial
e a velocidade inicial
. A partir daí, calculamos a aceleração inicial
. A aceleração geralmente vem da segunda lei de Newton, onde
, mas no contexto do exercício, vamos assumir que já temos
.
Passo 3
Agora, para encontrar a posição
e a velocidade
no próximo intervalo de tempo
, usamos as fórmulas do Método de Euler:
Essas fórmulas basicamente dizem que a nova posição é a posição anterior mais a velocidade multiplicada pelo intervalo de tempo, e a nova velocidade é a velocidade anterior mais a aceleração multiplicada pelo intervalo de tempo.
Passo 4
Depois de calcular
e
, precisamos encontrar a aceleração no novo ponto,
. Para isso, usamos os valores de
e
na expressão da aceleração, que pode depender de como a força atua sobre o objeto. Se, por exemplo, a força depende da posição ou velocidade, a aceleração também mudará.
Passo 5
Repetimos o processo: com
,
e
, calculamos
e
usando as mesmas fórmulas:
E assim por diante, até chegar no tempo
que queremos estimar.
Passo 6
Continuamos esse processo de atualização das posições e velocidades a cada intervalo
, recalculando a aceleração com os novos valores e avançando para o próximo passo. Isso nos permite construir uma aproximação da trajetória e da velocidade do objeto ao longo do tempo.
Resposta
Seguindo o Método de Euler, dividindo o tempo
em pequenos intervalos
e atualizando posição e velocidade passo a passo, conseguimos estimar a posição
e a velocidade
no tempo desejado
.