Uma escada uniforme, de comprimento
e massa
, apoiada sobre o chão, com coeficiente de atrito estático
, está encostada em uma parede lisa (atrito desprezível)., formando um ângulo
com a parede. A escada tem
degraus. Qual o número máximo de degraus que um homem de massa
pode subir ao longo da escada sem que ela escorregue?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos precisar. Temos uma escada uniforme de comprimento
e massa
, apoiada no chão com um coeficiente de atrito estático
. A escada está encostada em uma parede lisa, formando um ângulo
com o chão. A escada possui
degraus, e queremos descobrir o número máximo de degraus que um homem de massa
pode subir sem que a escada escorregue. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de equilíbrio de forças e momentos (torques), além da condição de atrito estático.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama de corpo livre da escada. Identificamos as forças que atuam sobre a escada:
- O peso da escada,
, atuando no centro da escada. - O peso do homem,
, atuando no degrau que ele está. - A força normal do chão,
, perpendicular ao chão. - A força de atrito no chão,
, que impede a escada de escorregar. - A força normal na parede,
, que empurra a escada para fora.
Passo 3
Como a parede é lisa, não há atrito nela, então a única força que a parede exerce na escada é a força normal,
. No chão, a força normal
equilibra o peso total da escada e do homem:
Passo 4
A força de atrito
no chão é o que impede a escada de escorregar. Segundo a condição de atrito estático, essa força máxima é dada por:
Passo 5
Para que a escada não escorregue, o momento das forças que tentam fazer a escada girar para baixo deve ser igual ou menor que o momento que a força de atrito pode resistir. Vamos calcular os torques em relação ao ponto onde a escada toca o chão.
O torque devido ao peso da escada é:
O torque devido ao peso do homem é:
onde
representa a distância do homem em relação ao chão, assumindo que cada degrau está igualmente espaçado.
Passo 6
O torque total que tenta fazer a escada escorregar é a soma dos torques do peso da escada e do homem:
A força de atrito fornece um torque que resiste ao escorregamento:
Passo 7
Para que a escada não deslize, o torque de atrito deve ser maior ou igual ao torque total:
Substituindo os valores:
Passo 8
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Isolando o termo que contém
:
Passo 10
Resolvendo para
:
Resposta
O número máximo de degraus que o homem pode subir sem que a escada escorregue é: