Uma escada uniforme, de comprimento ell e massa M, apoiada sobre o chão, com coeficiente de atrito estático mue, está encostada em uma parede lisa (atrito desprezível)., formando um ângulo theta com a parede. A escada tem n degraus. Qual o número máximo de degraus que um homem de massa m pode subir ao longo da escada sem que ela escorregue?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos precisar. Temos uma escada uniforme de comprimento ell e massa M, apoiada no chão com um coeficiente de atrito estático mue. A escada está encostada em uma parede lisa, formando um ângulo theta com o chão. A escada possui n degraus, e queremos descobrir o número máximo de degraus que um homem de massa m pode subir sem que a escada escorregue. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de equilíbrio de forças e momentos (torques), além da condição de atrito estático.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama de corpo livre da escada. Identificamos as forças que atuam sobre a escada:
  • O peso da escada, Pesc = M cdot g, atuando no centro da escada.
  • O peso do homem, Phomem = m cdot g, atuando no degrau que ele está.
  • A força normal do chão, N, perpendicular ao chão.
  • A força de atrito no chão, f, que impede a escada de escorregar.
  • A força normal na parede, Nparede, que empurra a escada para fora.

Passo 3

Como a parede é lisa, não há atrito nela, então a única força que a parede exerce na escada é a força normal, Nparede. No chão, a força normal N equilibra o peso total da escada e do homem:
N = Pesc + Phomem = M cdot g + m cdot g

Passo 4

A força de atrito f no chão é o que impede a escada de escorregar. Segundo a condição de atrito estático, essa força máxima é dada por:
fmax = mue cdot N = mue cdot (M + m) cdot g

Passo 5

Para que a escada não escorregue, o momento das forças que tentam fazer a escada girar para baixo deve ser igual ou menor que o momento que a força de atrito pode resistir. Vamos calcular os torques em relação ao ponto onde a escada toca o chão.
O torque devido ao peso da escada é:
tauesc = Pesc cdot ell2 cdot cos(theta)
O torque devido ao peso do homem é:
tauhomem = Phomem cdot nntotal cdot ell cdot cos(theta)
onde nntotal cdot ell representa a distância do homem em relação ao chão, assumindo que cada degrau está igualmente espaçado.

Passo 6

O torque total que tenta fazer a escada escorregar é a soma dos torques do peso da escada e do homem:
tautotal = tauesc + tauhomem = ( M cdot g cdot ell2 + m cdot g cdot nntotal cdot ell ) cdot cos(theta)
A força de atrito fornece um torque que resiste ao escorregamento:
tauatrito = fmax cdot ell cdot sin(theta)

Passo 7

Para que a escada não deslize, o torque de atrito deve ser maior ou igual ao torque total:
fmax cdot ell cdot sin(theta) >= tautotal
Substituindo os valores:
mue cdot (M + m) cdot g cdot ell cdot sin(theta) >= ( M cdot g cdot ell2 + m cdot g cdot nntotal cdot ell ) cdot cos(theta)

Passo 8

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por g cdot ell:
mue cdot (M + m) cdot sin(theta) >= M2 cdot cos(theta) + m cdot nntotal cdot cos(theta)

Passo 9

Isolando o termo que contém n:
m cdot nntotal cdot cos(theta) <= mue cdot (M + m) cdot sin(theta) - M2 cdot cos(theta)

Passo 10

Resolvendo para n:
n <= ntotalm cdot mue cdot (M + m) cdot sin(theta) - M2 cdot cos(theta)cos(theta)

Resposta

O número máximo de degraus que o homem pode subir sem que a escada escorregue é:
nmax = ntotalm cdot ( mue cdot (M + m) cdot sin(theta)cos(theta) - M2 )

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