integral cos ^6 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral cos^6 3x , dx. O que temos aqui é uma integral que envolve uma função trigonométrica elevada a uma potência par. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de redução de potência da trigonometria, que nos ajudam a simplificar integrais de potências pares de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a fórmula de redução para cos^6 u, onde u = 3x. A fórmula geral para cos^2n u (onde n é um número inteiro) nos permite expressar a potência de cosseno em termos de funções de múltiplos ângulos mais simples.
A fórmula específica para cos^6 u é:
cos^6 u = 132 (10 + 15 cos 2u + 6 cos 4u + cos 6u )

Passo 3

Substituindo u = 3x na fórmula, temos:
cos^6 3x = 132 (10 + 15 cos (2 cdot 3x) + 6 cos (4 cdot 3x) + cos (6 cdot 3x) )
Simplificando os argumentos das funções cosseno:
cos^6 3x = 132 (10 + 15 cos 6x + 6 cos 12x + cos 18x )

Passo 4

Agora, a integral original fica:
integral cos^6 3x , dx = integral 132 (10 + 15 cos 6x + 6 cos 12x + cos 18x ) dx
Podemos fatorar o 132:
= 132 integral (10 + 15 cos 6x + 6 cos 12x + cos 18x ) dx

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. integral 10 , dx = 10x
  2. integral 15 cos 6x , dx = 156 sin 6x = 52 sin 6x
  3. integral 6 cos 12x , dx = 612 sin 12x = 12 sin 12x
  4. integral cos 18x , dx = 118 sin 18x

Passo 6

Juntando tudo, temos:
132 (10x + 52 sin 6x + 12 sin 12x + 118 sin 18x ) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

integral cos^6 3x , dx = 132 (10x + 52 sin 6x + 12 sin 12x + 118 sin 18x ) + C

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