Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que envolve funções polinomiais e exponenciais:
. A matéria que vamos usar para resolver isso é a integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para resolver, a gente vai precisar identificar quais partes da integral serão
u
e dv
na fórmula de integração por partes.Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral tirando o 3 de fora, já que é uma constante:
Agora, vamos aplicar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Precisamos escolher o que será
u
e o que será dv
. Geralmente, escolhemos u
como a função que simplifica quando derivada, e dv
como o restante.Passo 3
Vamos escolher:
-
(porque ao derivar, redimensiona para algo mais simples) -
(pois é fácil de integrar)
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivando
:
- Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos usar novamente a integração por partes. Desta vez:
Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a integração por partes na nova integral:
Simplificando:
A integral de
é
. Então:
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Distribuindo o
:
Passo 8
Fatorando
:
Multiplicando tudo por 25 para simplificar os denominadores:
Mas para deixar mais simples, mantemos a forma anterior.
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.