integral 3 x^2 e^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que envolve funções polinomiais e exponenciais: integral 3 x^2 e^5 x d x. A matéria que vamos usar para resolver isso é a integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para resolver, a gente vai precisar identificar quais partes da integral serão u e dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral tirando o 3 de fora, já que é uma constante:
3 integral x^2 e^5x dx
Agora, vamos aplicar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Precisamos escolher o que será u e o que será dv. Geralmente, escolhemos u como a função que simplifica quando derivada, e dv como o restante.

Passo 3

Vamos escolher:
  • u = x^2 (porque ao derivar, redimensiona para algo mais simples)
  • dv = e^5x dx (pois é fácil de integrar)
Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u:
du = ddx(x^2) dx = 2x , dx
  • Integrando dv:
v = integral e^5x dx = 15 e^5x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 e^5x dx = u , v - integral v , du = x^2 cdot 15 e^5x - integral 15 e^5x cdot 2x , dx
Simplificando:
= x^25 e^5x - 25 integral x e^5x dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral integral x e^5x dx. Vamos usar novamente a integração por partes. Desta vez:
  • u = x
  • dv = e^5x dx
Calculando du e v:
  • du = dx
  • v = 15 e^5x

Passo 6

Aplicando a integração por partes na nova integral:
integral x e^5x dx = u , v - integral v , du = x cdot 15 e^5x - integral 15 e^5x cdot dx
Simplificando:
= x5 e^5x - 15 integral e^5x dx
A integral de e^5x é 15 e^5x. Então:
= x5 e^5x - 15 cdot 15 e^5x = x5 e^5x - 125 e^5x

Passo 7

Voltando à equação anterior:
integral x^2 e^5x dx = x^25 e^5x - 25 ( x5 e^5x - 125 e^5x ) + C
Distribuindo o 25:
= x^25 e^5x - 2x25 e^5x + 2125 e^5x + C

Passo 8

Fatorando e^5x:
= e^5x ( x^25 - 2x25 + 2125 ) + C
Multiplicando tudo por 25 para simplificar os denominadores:
= e^5x ( 5x^2 - 2x + 2525 ) + C
Mas para deixar mais simples, mantemos a forma anterior.

Resposta

A integral integral 3 x^2 e^5 x d x é igual a:
3 e^5x ( x^25 - 2x25 + 2125 ) + C
Onde C é a constante de integração.

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