Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que envolve funções polinomiais e exponenciais: . A matéria que vamos usar para resolver isso é a integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para resolver, a gente vai precisar identificar quais partes da integral serão u e dv na fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral tirando o 3 de fora, já que é uma constante:
Agora, vamos aplicar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Precisamos escolher o que será u e o que será dv. Geralmente, escolhemos u como a função que simplifica quando derivada, e dv como o restante.
Passo 3
Vamos escolher:
(porque ao derivar, redimensiona para algo mais simples)
(pois é fácil de integrar)
Agora, vamos calcular e :
Derivando :
Integrando :
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral . Vamos usar novamente a integração por partes. Desta vez:
Calculando e :
Passo 6
Aplicando a integração por partes na nova integral:
Simplificando:
A integral de é . Então:
Passo 7
Voltando à equação anterior:
Distribuindo o :
Passo 8
Fatorando :
Multiplicando tudo por 25 para simplificar os denominadores:
Mas para deixar mais simples, mantemos a forma anterior.