Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral que envolve funções polinomiais e exponenciais: . A matéria que vamos usar para resolver isso é a integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para resolver, a gente vai precisar identificar quais partes da integral serão u e dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral tirando o 3 de fora, já que é uma constante:
Agora, vamos aplicar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Precisamos escolher o que será u e o que será dv. Geralmente, escolhemos u como a função que simplifica quando derivada, e dv como o restante.

Passo 3

Vamos escolher:
  • (porque ao derivar, redimensiona para algo mais simples)
  • (pois é fácil de integrar)
Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral . Vamos usar novamente a integração por partes. Desta vez:
Calculando e :

Passo 6

Aplicando a integração por partes na nova integral:
Simplificando:
A integral de é . Então:

Passo 7

Voltando à equação anterior:
Distribuindo o :

Passo 8

Fatorando :
Multiplicando tudo por 25 para simplificar os denominadores:
Mas para deixar mais simples, mantemos a forma anterior.

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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