integral d xx(x+1)(2 x+3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do cálculo integral, mais especificamente da técnica de frações parciais. Para resolver, a gente vai precisar decompor a função racional em frações mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são frações parciais. Quando temos uma fração complicada como essa, que é um polinômio dividido por outro, a gente pode dividir em somas de frações mais simples. Essas frações mais simples têm denominadores que são fatores do denominador original. Assim, fica mais fácil de integrar cada parte separadamente.

Passo 3

Vamos decompor 1x(x+1)(2x+3) = Ax + Bx+1 + C2x+3 em frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 1 = A(x+1)(2x+3) + Bx(2x+3) + Cx(x+1) para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar para encontrar os valores de , e .

Passo 5

Expandindo cada termo:
1 = A(2x^2 + 5x + 3) + B(2x^2 + 3x) + C(x^2 + x)
Agrupando termos semelhantes:
1 = (2A + 2B + C)x^2 + (5A + 3B + C)x + 3A

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação:
Para 2A + 2B + C = 0 :
5A + 3B + C = 0
Para 3A = 1 :
Para o termo constante:

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações:
Primeiro, da última equação:
3A = 1 Rightarrow A = 13
Substituindo 2(13) + 2B + C = 0 Rightarrow 23 + 2B + C = 0 (1) nas duas primeiras equações:
5(13) + 3B + C = 0 Rightarrow 53 + 3B + C = 0 (2)
(53 + 3B + C) - (23 + 2B + C) = 0
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
33 + B = 0 Rightarrow B = -1
23 + 2(-1) + C = 0 Rightarrow 23 - 2 + C = 0 Rightarrow C = 43
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 8

Agora que temos 1x(x+1)(2x+3) = 13x + -1x+1 + 432x+3 , 1x(x+1)(2x+3) = 13x - 1x+1 + 43(2x+3) e , podemos escrever a decomposição das frações parciais:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 13x , dx - integral 1x+1 , dx + integral 43(2x+3) , dx
Integrando:
13 ln|x| - ln|x+1| + 43 cdot 12 ln|2x+3| + C
Simplificando:
13 ln|x| - ln|x+1| + 23 ln|2x+3| + C

Resposta

integral dxx(x+1)(2x+3) = 13 ln|x| - ln|x+1| + 23 ln|2x+3| + C

Exercícios relacionados