Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício faz parte do cálculo integral, mais especificamente da técnica de frações parciais. Para resolver, a gente vai precisar decompor a função racional em frações mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são frações parciais. Quando temos uma fração complicada como essa, que é um polinômio dividido por outro, a gente pode dividir em somas de frações mais simples. Essas frações mais simples têm denominadores que são fatores do denominador original. Assim, fica mais fácil de integrar cada parte separadamente.
Passo 3
Vamos decompor
em frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 5
Expandindo cada termo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações:
Primeiro, da última equação:
Substituindo
nas duas primeiras equações:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Agora, substituímos
na equação (1):
Passo 8
Agora que temos
,
e
, podemos escrever a decomposição das frações parciais:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
Simplificando: