Para que valores do número r a função
f(x, y, z)=rll (x+y+z)^rx^2+y^2+z^2, & se & (x, y, z) neq(0,0,0) 0, & se & (x, y, z)=(0,0,0)
é contínua em R^2.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma função f(x, y, z)=rll (x+y+z)^rx^2+y^2+z^2, & se & (x, y, z) neq (0,0,0) 0, & se & (x, y, z) = (0,0,0) definida da seguinte forma:
Queremos descobrir para quais valores de essa função é contínua em . Vamos precisar usar conceitos de limite e continuidade de funções multivariáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a função ser contínua em todo o seu domínio. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando nos aproximamos desse ponto for igual ao valor da função naquele ponto. No nosso caso, o ponto crítico é , já que a definição da função muda nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular o limite de lim(x, y, z) to (0,0,0) (x+y+z)^rx^2+y^2+z^2 quando se aproxima de . Isso nos ajudará a verificar se o limite coincide com o valor da função nesse ponto, que é 0.
Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde , , , e .

Passo 4

Substituindo as coordenadas esféricas na expressão do limite:
limrho to 0 (rho sin phi cos theta + rho sin phi sin theta + rho cos phi)^rrho^2
Fatorando limrho to 0 rho^r (sin phi cos theta + sin phi sin theta + cos phi)^rrho^2 = limrho to 0 rho^r-2 (sin phi cos theta + sin phi sin theta + cos phi)^r :

Passo 5

Para que o limite exista e seja igual a zero (para coincidir com r - 2 > 0 implies r > 2 ), precisamos que tenda a zero quando . Isso acontece quando o expoente é positivo:

Resposta

A função é contínua em para todos os valores de tais que .

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