Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com uma integral que envolve frações racionais, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar a integração decompondo a fração em partes mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar como uma soma de frações parciais. A forma geral para isso será:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, expandimos o lado direito:
Passo 4
Agrupamos os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada polinômio:
Passo 5
Resolvemos esse sistema de equações para encontrar (3 - B) - C = 5 Rightarrow -B - C = 2 Rightarrow B + C = -2 , - B + C = -4 B + C = -2 e (-B + C) + (B + C) = -4 + (-2) Rightarrow 2C = -6 Rightarrow C = -3 .
Primeira equação: B - 3 = -2 Rightarrow B = 1 (1)
Segunda equação: (2)
Terceira equação: (3)
Pela equação (1), temos .
Substituímos na equação (3):
Agora, das equações (2) e (nova):
Somando as duas equações:
Substituindo na equação :
E finalmente, usando .
Passo 6
Agora que temos 3 x^2-4 x+5(x-1)(x^2+1) = 2x-1 + 1x - 3x^2+1 , e , substituímos de volta na expressão das frações parciais:
Passo 7
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 2x-1 dx + integral x - 3x^2+1 dx
Primeira integral:
integral 2x-1 dx = 2 ln|x-1|
Segunda integral, dividimos em duas partes:
integral xx^2+1 dx - 3 integral 1x^2+1 dx = 12 ln|x^2+1| - 3 arctan(x)
Resposta
Portanto, a integral é:
integral 3 x^2-4 x+5(x-1)(x^2+1) d x = 2 ln|x-1| + 12 ln(x^2+1) - 3 arctan(x) + C