, onde é a região delimitada pelas curvas e com . (Resp: )
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla , onde a região é delimitada pelas curvas e , com . Isso envolve o conteúdo de integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes e outras grandezas em regiões planejadas. Para resolver, vamos precisar identificar os limites de integração e integrar a função sobre essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . As curvas que delimitam são (uma linha reta) e (uma parábola). Para encontrar onde elas se interceptam, igualamos as duas equações:
Então, a região está entre e , e para cada nesse intervalo, varia de até .
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites que determinamos:
Aqui, a ordem de integração é primeiro em relação a (de a ) e depois em relação a (de a ).
Passo 4
Vamos integrar a função em relação a :
Integrando cada parte separadamente:
= x(x - x^2) + 12(x^2 - (x^2)^2)
= x^2 - x^3 + 12(x^2 - x^4)
= x^2 - x^3 + 12x^2 - 12x^4
= 32x^2 - x^3 - 12x^4
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado acima em relação a x de 0 a 1: