integral duplaD(x+y) d A, onde D é a região delimitada pelas curvas y=x e y=x^2 com 0 <= x <= 1. (Resp: 320 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaD(x+y) , dA, onde a região D é delimitada pelas curvas y = x e y = x^2, com 0 <= x <= 1. Isso envolve o conteúdo de integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes e outras grandezas em regiões planejadas. Para resolver, vamos precisar identificar os limites de integração e integrar a função x + y sobre essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região D. As curvas que delimitam D são y = x (uma linha reta) e y = x^2 (uma parábola). Para encontrar onde elas se interceptam, igualamos as duas equações:
x = x^2 implies x^2 - x = 0 implies x(x - 1) = 0 implies x = 0 ou x = 1
Então, a região D está entre x = 0 e x = 1, e para cada x nesse intervalo, y varia de x^2 até x.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites que determinamos:
integral duplaD(x + y) , dA = integral0^1 integralx^2^x (x + y) , dy , dx
Aqui, a ordem de integração é primeiro em relação a y (de x^2 a x) e depois em relação a x (de 0 a 1).

Passo 4

Vamos integrar a função x + y em relação a y:
integralx^2^x (x + y) , dy = integralx^2^x x , dy + integralx^2^x y , dy
Integrando cada parte separadamente:
= x cdot (y) |x^2^x + 12 y^2 |x^2^x
= x(x - x^2) + 12(x^2 - (x^2)^2)
= x^2 - x^3 + 12(x^2 - x^4)
= x^2 - x^3 + 12x^2 - 12x^4
= 32x^2 - x^3 - 12x^4

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado acima em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 ( 32x^2 - x^3 - 12x^4 ) dx
Integrando termo a termo:
= 32 cdot x^33 - x^44 - 12 cdot x^55 |0^1
= 32 cdot 13 - 14 - 12 cdot 15
= 12 - 14 - 110
= 510 - 2.510 - 110
= 1.510 = 320

Resposta

O valor da integral dupla é 320.

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