Encontre a solução geral, usando o método de variação dos parâmetros para determinar uma particular de:
(b) d²y/dt² - 5 dy/dt + 6y = t * e^t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Isso significa que ela tem termos com , e , além de um termo de força externo, que no caso é . Para resolver isso, vamos usar o método de variação dos parâmetros, que nos ajuda a encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada. A equação homogênea é:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos descobrir. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática:
Então, as raízes são e . Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea usando o método de variação dos parâmetros. A equação original é:
Sabemos que a solução geral será , onde é a solução particular que buscamos.
Primeiro, identificamos as soluções homogêneas que já encontramos: e . No método de variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde e são funções que precisamos determinar.
Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas:
Aqui, é o lado direito da equação original, e é o wronskiano das soluções homogêneas, calculado por:
Calculando o wronskiano:
Agora, calculamos e :
Agora, integramos para encontrar e :
Vamos resolver essas integrais por partes. Lembra que a integração por partes é dada por:
Primeiro, para :
Deixe e . Então, e .
Ignoramos a constante de integração, já que estamos procurando uma solução particular.
Agora, para :
Deixe e . Então, e .
Mais uma vez, ignoramos a constante de integração.
Agora, substituímos e na fórmula de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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