Encontre a solução geral, usando o método de variação dos parâmetros para determinar uma particular de:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Isso significa que ela tem termos com
,
e
, além de um termo de força externo, que no caso é
. Para resolver isso, vamos usar o método de variação dos parâmetros, que nos ajuda a encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada. A equação homogênea é:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos descobrir. Substituindo
na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática:
Então, as raízes são
e
. Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea usando o método de variação dos parâmetros. A equação original é:
Sabemos que a solução geral será
, onde
é a solução particular que buscamos.
Primeiro, identificamos as soluções homogêneas que já encontramos:
e
. No método de variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde
e
são funções que precisamos determinar.
Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas:
Aqui,
é o lado direito da equação original, e
é o wronskiano das soluções homogêneas, calculado por:
Calculando o wronskiano:
Agora, calculamos
e
:
Agora, integramos para encontrar
e
:
Vamos resolver essas integrais por partes. Lembra que a integração por partes é dada por:
Primeiro, para
:
Deixe
e
. Então,
e
.
Ignoramos a constante de integração, já que estamos procurando uma solução particular.
Agora, para
:
Deixe
e
. Então,
e
.
Mais uma vez, ignoramos a constante de integração.
Agora, substituímos
e
na fórmula de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.