integral duplaD x^3 d A, onde D é a região delimitada pelas curvas y=6-x^2 e y=2-x^2, x=1 e x=3. (Resp: 80)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla integral duplaD x^3 , dA, onde a região D é delimitada pelas curvas y=6 - x^2, y=2 - x^2, x=1 e x=3. Esse problema entra na área de Cálculo Integral, especificamente em integrais duplas sobre regiões delimitadas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. As curvas y=6 - x^2 e y=2 - x^2 são parábolas que abrem para baixo. A diferença entre elas está no termo constante: 6 e 2, respectivamente. Além disso, temos as linhas verticais x=1 e x=3 que limitam a região horizontalmente.

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. Observando as equações das parábolas:
  • Para y=6 - x^2 e y=2 - x^2, para cada valor de x entre 1 e 3, y varia de 2 - x^2 até 6 - x^2.
Isso nos diz que, para cada x em [1, 3], y varia de uma curva inferior ( 2 - x^2) para uma curva superior ( 6 - x^2).

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla com esses limites. A integral fica:
integralx=1^x=3 integraly=2 - x^2^y=6 - x^2 x^3 , dy , dx
Aqui, estamos integrando x^3 primeiro em relação a y, mantendo x constante, e depois integrando o resultado em relação a x.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integraly=2 - x^2^y=6 - x^2 x^3 , dy = x^3 cdot (y) |2 - x^2^6 - x^2 = x^3 cdot [(6 - x^2) - (2 - x^2)] = x^3 cdot (4) = 4x^3
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integralx=1^x=3 4x^3 , dx = 4 integral1^3 x^3 , dx
Calculamos a integral de x^3:
4 cdot ( x^44 ) |1^3 = ( x^4 ) |1^3 = (3^4) - (1^4) = 81 - 1 = 80

Resposta

A integral dupla integral duplaD x^3 , dA sobre a região D é igual a 80.

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