, onde é a região delimitada pelas curvas e e . (Resp: 80)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pelas curvas , , e . Esse problema entra na área de Cálculo Integral, especificamente em integrais duplas sobre regiões delimitadas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e então calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . As curvas e são parábolas que abrem para baixo. A diferença entre elas está no termo constante: e , respectivamente. Além disso, temos as linhas verticais e que limitam a região horizontalmente.
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração. Observando as equações das parábolas:
Para e , para cada valor de entre e , varia de até .
Isso nos diz que, para cada em , varia de uma curva inferior () para uma curva superior ().
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla com esses limites. A integral fica:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a , mantendo constante, e depois integrando o resultado em relação a .
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa: