Calcular o volume do sólido delimitado superiormente por e inferiormente por (Resp: u.v.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é limitado por duas superfícies: a de cima dada por e a de baixo pelo círculo . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, pra achar esse volume. Então, vamos precisar entender como passar para coordenadas polares e como configurar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as superfícies. A equação representa uma parábola que abre para baixo, e é um círculo no plano . Para achar o volume entre essas duas superfícies, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nessa mudança, .
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação da superfície superior em coordenadas polares:
E a superfície inferior é o círculo , ou seja, .
Passo 4
O volume pode ser calculado como a integral dupla da altura sobre a região circular de raio :
Aqui, é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 5
Vamos definir os limites de integração. varia de 0 a e varia de 0 a . Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :