Calcular o volume do sólido delimitado superiormente por z = 4 - 2x^2 - 2y^2 e inferiormente por x^2 + y^2 = 2 (Resp: 4 pi u.v.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é limitado por duas superfícies: a de cima dada por e a de baixo pelo círculo . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, pra achar esse volume. Então, vamos precisar entender como passar para coordenadas polares e como configurar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as superfícies. A equação representa uma parábola que abre para baixo, e é um círculo no plano . Para achar o volume entre essas duas superfícies, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nessa mudança, .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação da superfície superior em coordenadas polares:
E a superfície inferior é o círculo , ou seja, .

Passo 4

O volume pode ser calculado como a integral dupla da altura sobre a região circular de raio :
Aqui, é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 5

Vamos definir os limites de integração. varia de 0 a e varia de 0 a . Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :

Passo 7

Agora, resolvemos a integral externa:

Resposta

O volume do sólido é unidades de volume.

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