integral duplaE e^z / y d V, onde E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 1, y <= x <= 1,0 <= z <= x y

Passo 1

Beleza, então a gente tem que resolver a integral tripla integral triplaE e^z / y dV, onde a região E é definida por:
  • 0 <= y <= 1
  • y <= x <= 1
  • 0 <= z <= x y
Vamos usar cálculo integral multivariado para resolver isso. Precisamos entender bem os limites de integração e escolher a ordem de integração que facilita o cálculo. Vamos precisar integrar em relação a z, depois a x e por último a y.

Passo 2

Primeiro, vamos configurar a integral tripla com os limites dados. A ordem será dz,dx,dy. Então, a integral fica:
integraly=0^1 integralx=y^1 integralz=0^x y e^z / y , dz, dx, dy

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a z:
integral0^x y e^z / y , dz
Para integrar e^z/y em relação a z, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar claro:
A integral de e^k z em relação a z é 1k e^k z + C. Aqui, k = 1y.
Então:
integral e^z / y , dz = y e^z / y + C
Aplicando os limites de z de 0 a x y, temos:
y e^xy / y - y e^0 = y e^x - y cdot 1 = y (e^x - 1)

Passo 4

Substituindo o resultado da integral em z de volta na integral dupla, ficamos com:
integral0^1 integraly^1 y (e^x - 1) , dx, dy
Agora, vamos resolver a integral em relação a x.

Passo 5

Vamos integrar y (e^x - 1) em relação a x de y a 1:
y integraly^1 (e^x - 1) , dx = y [ integraly^1 e^x , dx - integraly^1 1 , dx ]
Calculando cada parte:
  1. integral e^x , dx = e^x + C
  2. integral 1 , dx = x + C
Aplicando os limites:
  1. e^1 - e^y
  2. 1 - y
Então, temos:
y [ (e^1 - e^y) - (1 - y) ] = y (e - e^y - 1 + y)

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral em y:
integral0^1 y (e - e^y - 1 + y) , dy
Vamos distribuir o y dentro dos parênteses:
integral0^1 ( y e - y e^y - y + y^2 ) , dy
Podemos separar a integral:
e integral0^1 y , dy - integral0^1 y e^y , dy - integral0^1 y , dy + integral0^1 y^2 , dy

Passo 7

Calculando cada integral:
  1. e integral0^1 y , dy = e [ y^22 ]0^1 = e cdot 12 = e2
  2. integral0^1 y e^y , dy — aqui usamos integração por partes:
    • Seja u = y então du = dy
    • Seja dv = e^y dy então v = e^y
    Aplicando:
    u v - integral v , du = y e^y - integral e^y , dy = y e^y - e^y + C
    Aplicando os limites de 0 a 1:
    (1 cdot e^1 - e^1) - (0 - e^0) = (e - e) - (-1) = 0 + 1 = 1
  3. integral0^1 y , dy = 12
  4. integral0^1 y^2 , dy = [ y^33 ]0^1 = 13

Passo 8

Agora, substituindo todos os resultados:
e2 - 1 - 12 + 13
Vamos somar esses termos:
e2 - 1 - 12 + 13 = e2 - 32 + 13
Encontrando um denominador comum, que é 6:
3e6 - 96 + 26 = 3e - 9 + 26 = 3e - 76

Resposta

O valor da integral tripla é dfrac3e - 76.

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