, onde
Passo 1
Beleza, então a gente tem que resolver a integral tripla
, onde a região
é definida por:
Vamos usar cálculo integral multivariado para resolver isso. Precisamos entender bem os limites de integração e escolher a ordem de integração que facilita o cálculo. Vamos precisar integrar em relação a
, depois a
e por último a
.
Passo 2
Primeiro, vamos configurar a integral tripla com os limites dados. A ordem será
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar claro:
A integral de
em relação a
é
. Aqui,
.
Então:
Aplicando os limites de
de
a
, temos:
Passo 4
Substituindo o resultado da integral em
de volta na integral dupla, ficamos com:
Agora, vamos resolver a integral em relação a
.
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
de
a
:
Calculando cada parte:
Aplicando os limites:
Então, temos:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral em
:
Vamos distribuir o
dentro dos parênteses:
Podemos separar a integral:
Passo 7
Calculando cada integral:
-
-
— aqui usamos integração por partes: - Seja
então - Seja
então
Aplicando:Aplicando os limites dea : - Seja
-
-
Passo 8
Agora, substituindo todos os resultados:
Vamos somar esses termos:
Encontrando um denominador comum, que é
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Use o primeiro limite fundamental para calcular os seguintes limites:
Calcule
, onde
é o conjunto
.
Calcule as integrais abaixo usando coordenadas cilíndricas.
a) Calcule a integral , onde
é a região que está dentro do cilindro
e entre os planos
.
a) Calcule a integral
Determine o volume do sólido que é limitado pelo cone
abaixo da esfera
.