Determine o volume do sólido que é limitado pelo cone z = raiz(x^2 + y^2) e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume de um sólido que está limitado por um cone e pela parte debaixo de uma esfera. A matéria que vamos usar é o cálculo de volumes usando coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as formas que estão delimitando o sólido. Temos um cone dado pela equação e uma esfera dada por . Nosso objetivo é descobrir onde essas duas superfícies se encontram para definir os limites do nosso volume.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção entre o cone e a esfera. Substituindo na equação da esfera:
Isso significa que a interseção ocorre quando .

Passo 4

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque elas facilitam bastante nesse tipo de problema. Nas coordenadas cilíndricas, temos que , e . A equação do cone vira e a da esfera fica .

Passo 5

Para encontrar os limites de integração, notamos que vai de 0 até 1 (já que ). O ângulo vai de 0 a para cobrir toda a volta. Já para , ele vai do cone até a esfera. Da equação da esfera, isolando :
Então, varia de a .

Passo 6

Agora, configuramos a integral tripla para o volume:
Aqui, o extra na integral é devido ao fator de escala das coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos separar a integral em duas partes:
A primeira parte envolve uma substituição para facilitar a integração.

Passo 9

Para a primeira integral, fazemos , então ou . A integral se torna:
Avaliaremos de 0 a 1:
Então, essa parte é .

Passo 10

A segunda integral é mais simples:

Passo 11

Subtraindo as duas partes:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo usando coordenadas cilíndricas.
a) Calcule a integral integral triplaE raizx^2+y^2 d V, onde E é a região que está dentro do cilindro x^2+y^2=16 e entre os planos z=-4 e z=5.
integral duplaE e^z / y d V, onde E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 1, y <= x <= 1,0 <= z <= x y
Calcule os seguintes limites laterais: lim x 1^- f(x) e lim x 1^+ f(x), onde f: R R é dada por
f(x)=c x^2, se x<1 1, se x=1 2 x, se x>1
Seja C um número real e considere a função f: R R dada por
f(x)=c 3 x-5, se x<2 2 x-C, se x >= 2
Determine C para que o limite lim x 2 f(x) exista.