Use o primeiro limite fundamental para calcular os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 0 para a expressão . Para isso, vamos usar o Primeiro Limite Fundamental, que é uma ferramenta importante em cálculo para resolver limites envolvendo funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é o Primeiro Limite Fundamental. Ele diz que:
Isso significa que, quando
está muito perto de 0, é aproximadamente igual a
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a expressão que queremos calcular:
A ideia aqui é separar os termos para aplicar o Primeiro Limite Fundamental em cada parte.
Passo 4
Vamos reescrever a expressão dividindo cada seno por
:
Agora, observamos que cada fração pode ser manipulada para usar o limite conhecido.
Passo 5
Para cada termo, vamos multiplicar e dividir por o coeficiente dentro do seno. Isso nos ajuda a aplicar o limitação que sabemos:
Passo 6
Substituindo essas expressões de volta no limite, temos:
Agora, cada fração onde
é uma constante, se aproxima de 1 quando
se aproxima de 0, segundo o Primeiro Limite Fundamental.
Passo 7
Aplicando o limite em cada termo:
Resposta
A resposta final do limite é 2.
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, onde
é o conjunto
.
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, em torno do eixo
.
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a) Calcule a integral , onde
é a região que está dentro do cilindro
e entre os planos
.
a) Calcule a integral