Use o primeiro limite fundamental para calcular os seguintes limites: lim x 0 sen(5 x)-sen(3 x)x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Para isso, vamos usar o Primeiro Limite Fundamental, que é uma ferramenta importante em cálculo para resolver limites envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é o Primeiro Limite Fundamental. Ele diz que:
Isso significa que, quando limx to 0 sen(x)x = 1 está muito perto de 0, é aproximadamente igual a .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a expressão que queremos calcular:
A ideia aqui é separar os termos para aplicar o Primeiro Limite Fundamental em cada parte.

Passo 4

Vamos reescrever a expressão dividindo cada seno por limx to 0 ( sen(5x)x - sen(3x)x ) :
Agora, observamos que cada fração pode ser manipulada para usar o limite conhecido.

Passo 5

Para cada termo, vamos multiplicar e dividir por o coeficiente dentro do seno. Isso nos ajuda a aplicar o limitação que sabemos:

Passo 6

Substituindo essas expressões de volta no limite, temos:
Agora, cada fração onde limx to 0 ( 5 cdot sen(5x)5x - 3 cdot sen(3x)3x ) é uma constante, se aproxima de 1 quando se aproxima de 0, segundo o Primeiro Limite Fundamental.

Passo 7

Aplicando o limite em cada termo:
5 cdot limx to 0 sen(5x)5x - 3 cdot limx to 0 sen(3x)3x

Resposta

A resposta final do limite é 2.

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