Calcule as integrais abaixo usando coordenadas cilíndricas.
a) Calcule a integral integral triplaE raizx^2+y^2 d V, onde E é a região que está dentro do cilindro x^2+y^2=16 e entre os planos z=-4 e z=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício onde temos que calcular a integral tripla . A região está dentro do cilindro e entre os planos e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para trabalhar com cilindros e simplificam as integrais envolvendo simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas dV = r , dr , dtheta , dz para as coordenadas cilíndricas :
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:
E a expressão se simplifica para em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Vamos reescrever a integral na forma de coordenadas cilíndricas:
integral triplaE raizx^2+y^2 , dV = integral triplaE r cdot r , dr , dtheta , dz = integral triplaE r^2 , dr , dtheta , dz
Agora, precisamos definir os limites de integração para , e .

Passo 4

Para a região :
  • O cilindro em coordenadas cilíndricas �� , ou seja, . Então, varia de a .
  • Como estamos cobrindo todo o cilindro em volta do eixo , varia de a .
  • Os planos e definem que varia de a .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral com esses limites:
integral0^2pi integral0^4 integral-4^5 r^2 , dz , dr , dtheta
Vamos resolver essa integral etapa por etapa.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral-4^5 dz = z |-4^5 = 5 - (-4) = 9 :
integral0^2pi integral0^4 r^2 cdot 9 , dr , dtheta = 9 integral0^2pi integral0^4 r^2 , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^4 r^2 , dr = r^33 |0^4 = 4^33 - 0 = 643 :
9 integral0^2pi 643 , dtheta = 9 cdot 643 integral0^2pi dtheta
Substituindo de volta:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :
9 cdot 643 cdot 2pi = 9 cdot 128pi3 = 384pi
Então, a integral completa é:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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