Calcule as integrais abaixo usando coordenadas cilíndricas.
a) Calcule a integral , onde é a região que está dentro do cilindro e entre os planos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício onde temos que calcular a integral tripla . A região está dentro do cilindro e entre os planos e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para trabalhar com cilindros e simplificam as integrais envolvendo simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas para as coordenadas cilíndricas :
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:
E a expressão se simplifica para em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Vamos reescrever a integral na forma de coordenadas cilíndricas:
Agora, precisamos definir os limites de integração para , e .
Passo 4
Para a região :
O cilindro em coordenadas cilíndricas �� , ou seja, . Então, varia de a .
Como estamos cobrindo todo o cilindro em volta do eixo , varia de a .
Os planos e definem que varia de a .
Passo 5
Agora, vamos montar a integral com esses limites:
Vamos resolver essa integral etapa por etapa.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a integral0^4 r^2 , dr = r^33 |0^4 = 4^33 - 0 = 643 :