Seja
a superfície dada pela parametrização
. Encontre um vetor normal para
em cada ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um vetor normal à superfície
no espaço tridimensional, que é dada pela parametrização
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente o conceito de vetores normais em superfícies parametrizadas. Precisaremos calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a
e
e então usar o produto vetorial dessas derivadas para obter o vetor normal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da parametrização
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais
e
, vamos calcular o produto vetorial entre elas para encontrar o vetor normal
.
O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso às nossas derivadas:
Resposta
Um vetor normal à superfície
no ponto
é
.