Seja S é um subconjunto de R^3 a superfície dada pela parametrização phi(u, v) = (u v, u, v^2). Encontre um vetor normal para S em cada ponto p = phi(u, v) em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um vetor normal à superfície no espaço tridimensional, que é dada pela parametrização . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente o conceito de vetores normais em superfícies parametrizadas. Precisaremos calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a e e então usar o produto vetorial dessas derivadas para obter o vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais da parametrização em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais e , vamos calcular o produto vetorial entre elas para encontrar o vetor normal .
O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso às nossas derivadas:

Resposta

Um vetor normal à superfície no ponto é .

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