Em cada item reescreva a sequência exibindo os cinco primeiros termos. Logo após verifique se a sequência é convergente ou diverge, caso seja convergente calcule qual é o valor para o qual ela convèrge.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência definida por
e precisamos:
- Escrever os cinco primeiros termos dessa sequência.
- Verificar se essa sequência converge (ou seja, se ela tende a algum valor específico quando
cresce bastante) ou se diverge. - Se convergir, descobrir para qual valor ela está convergindo.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências, limites e como trabalhar com potências envolvendo frações.
Passo 2
Vamos começar calculando os cinco primeiros termos da sequência. Isso significa substituir
por 1, 2, 3, 4 e 5 na expressão
.
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então, os cinco primeiros termos da sequência são aproximadamente: 2, 2,78, 3,375, 3,8416 e 4,213.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa sequência converge ou diverge. Para isso, precisamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito.
A sequência é dada por:
Primeiro, simplificamos a fração:
Quando
fica muito grande (
),
e
tendem a zero. Então:
Mas como temos uma potência que envolve isso, precisamos analisar o comportamento de
, já que:
Sabemos que
tende a
quando
. Aqui,
, então:
Portanto, a sequência converge e o valor para o qual ela converge é
.
Resposta
A sequência
tem os cinco primeiros termos aproximadamente iguais a 2, 2,78, 3,375, 3,8416 e 4,213. Além disso, essa sequência converge para o valor
.
Exercícios relacionados
Em cada item reescreva a sequência exibindo os cinco primeiros termos. Logo após verifique se a sequência é convergente ou diverge, caso seja convergente calcule qual é o valor para o qual ela convèrge.
Em cada item reescreva a sequência exibindo os cinco primeiros termos. Logo após verifique se a sequência é convergente ou diverge, caso seja convergente calcule qual é o valor para o qual ela convèrge.
Dadas as sequências abaixo as reescreva em formato compacto começando
.