integral ln (t) d t

Passo 1

Beleza, lá vamos nós! O exercício que temos é calcular a integral de ln(t) em relação a t, ou seja, . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente da técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes e identificar quais partes da nossa função serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto para derivadas e é útil quando temos o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar ou derivar individualmente. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função será u = ln(t) e dv = dt e qual será . No nosso caso, temos apenas uma função, , multiplicada por 1 implícito. Vamos definir:

Passo 3

Agora que definimos du = ddt ln(t) , dt = 1t , dt e v = integral dv = integral dt = t , precisamos encontrar e .
Derivando :
Integrando :

Passo 4

Com esses valores, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral ln(t) , dt = uv - integral v , du
Substituindo = ln(t) cdot t - integral t cdot 1t , dt , , :

Passo 5

Simplificando a integral que sobrou:
t cdot 1t = 1
Então:
integral ln(t) , dt = t ln(t) - integral 1 , dt

Passo 6

Agora, integremos integral 1 , dt = t + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na expressão principal:
integral ln(t) , dt = t ln(t) - t + C

Resposta

integral ln(t) , dt = t ln(t) - t + C

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