Passo 1
Beleza, lá vamos nós! O exercício que temos é calcular a integral de ln(t) em relação a t, ou seja,
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente da técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona a integração por partes e identificar quais partes da nossa função serão
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto para derivadas e é útil quando temos o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar ou derivar individualmente. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função será
e qual será
. No nosso caso, temos apenas uma função,
, multiplicada por 1 implícito. Vamos definir:
Passo 3
Agora que definimos
e
, precisamos encontrar
e
.
Derivando
:
Integrando
:
Passo 4
Com esses valores, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Passo 5
Simplificando a integral que sobrou:
Então:
Passo 6
Agora, integremos
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo de volta na expressão principal: