integral-pi^pi cos ^2 5 theta d theta 3x. integral0^pi / 6 sen 4 x cos 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas integrais definidas envolvendo funções trigonométricas. A primeira integral é e a segunda é . Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas que facilitam a integração dessas funções.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral: cos^2x = 1 + cos(2x)2 .
Primeiro, sabemos que cos^2(5theta) = 1 + cos(10theta)2 pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica:
integral-pi^pi cos^2(5theta) , dtheta = integral-pi^pi 1 + cos(10theta)2 , dtheta = 12 integral-pi^pi 1 , dtheta + 12 integral-pi^pi cos(10theta) , dtheta
Aplicando essa identidade, temos:
12 integral-pi^pi 1 , dtheta = 12 [ theta ]-pi^pi = 12 ( pi - (-pi) ) = 12 (2pi) = pi
Agora, substituímos na integral:
12 integral-pi^pi cos(10theta) , dtheta = 12 [ sen(10theta)10 ]-pi^pi = 120 ( sen(10pi) - sen(-10pi) )
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira parte:
120 (0 - 0) = 0
Segunda parte:
Sabemos que para qualquer inteiro pi + 0 = pi , então:
Portanto, a primeira integral é:

Passo 3

Agora, vamos resolver a segunda integral: .
Para facilitar a integração, vamos usar a identidade trigonométrica para o produto de seno e cosseno:
Aplicando essa identidade:
Agora, substituímos na integral:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira parte:
Aplicando os limites:
sen(A) cos(B) = sen(A + B) + sen(A - B) 2
Segunda parte:
Aplicando os limites:
sen(4x) cos(2x) = sen(6x) + sen(2x) 2
Agora, somando as duas partes:
integral0^pi/6 sen(4x) cos(2x) , dx = 12 integral0^pi/6 sen(6x) + sen(2x) , dx = 12 ( integral0^pi/6 sen(6x) , dx + integral0^pi/6 sen(2x) , dx )

Resposta

A primeira integral vale e a segunda integral vale .

Exercícios relacionados

integral tg 4 x sec ^4 4 x d x
Considere a sequência
an=n^2+3 n-12 n^2+5

Podemos afirmar que

Escolha uma opção:

a.
a2=912
b
lim n infty an=+infty
c.
nexists c>0
tal que
|an| <= c
para todo n, isto é
an
năo é uma sequência limitada.
d
lim n infty an=12
integral tg 5 x d x
15 em cerca de 114 km (por
lam-se mais separadas en
integral tg^5 x sec ^4 x d x vertical Dbeta sobre omap