integral tg^5 x sec ^4 x d x vertical Dbeta sobre omap

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo potências das funções trigonométricas tangente e secante. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Isso nos ajuda a expressar a integral em termos de funções mais básicas.

Passo 3

Vamos reescrever a integral usando essas identidades:
integral tan^5x cdot sec^4x , dx = integral (sin xcos x)^5 cdot (1cos x)^4 dx = integral sin^5xcos^9x dx
Isso pode parecer complicado, mas vamos simplificar.

Passo 4

Vamos separar um fator de sin^5x = sin^4x cdot sin x = (sin^2x)^2 cdot sin x = (1 - cos^2x)^2 cdot sin x para facilitar a substituição:
integral (1 - cos^2x)^2 cdot sin xcos^9x dx
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Agora, fazemos a substituição integral (1 - u^2)^2 cdot (-du)u^9 = -integral 1 - 2u^2 + u^4u^9 du = -integral (u^-9 - 2u^-7 + u^-5) du , então ou . Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, integra cada termo separadamente:
- ( u^-8-8 - 2 cdot u^-6-6 + u^-4-4 ) + C = 18u^-8 - 13u^-6 + 14u^-4 + C
Substituindo 18cos^-8x - 13cos^-6x + 14cos^-4x + C de volta:

Passo 7

Podemos reescrever as potências negativas de secante:
18 sec^8x - 13 sec^6x + 14 sec^4x + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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