A integral pode ser utilizada para calcular o valor da área compreendida entre o gráfico de uma função e o eixo x. Sabendo isso, também podemos utilizar integrais para calcular o valor da área compreendida entre duas funções. Assinale a alternativa que apresenta a área compreendida entre as funções f(x)=x e g(x)=x2 no intervalo [0,1].
a.1
b.1
c.1 over 6
d.0 e.straight pi
a.1
b.1
c.1 over 6
d.0 e.straight pi
Passo 1
Vamos lá! O exercício está falando sobre como usar integrais para encontrar a área entre duas funções. Aqui, temos as funções $ f(x) = x $ e $ g(x) = x^2 $ no intervalo de $ [0, 1] $. Vamos precisar entender como calcular essa área usando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual das duas funções está acima da outra no intervalo dado. Vamos comparar $ f(x) = x $ e $ g(x) = x^2 $ para valores de $ x $ entre 0 e 1.
Passo 3
Para ver qual função está maior, escolhemos um valor de $ x $ dentro do intervalo, por exemplo, $ x = 0.5 $:
Como $ 0.5 > 0.25 $, vemos que $ f(x) $ está acima de $ g(x) $ nesse intervalo.
Passo 4
Agora que sabemos que $ f(x) $ está acima de $ g(x) $, a área entre as duas funções é dada pela integral da diferença delas:
Substituindo as funções:
Passo 5
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integraremos $ x $:
Depois, integraremos $ x^2 $:
Então, a integral completa fica:
Passo 6
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 1:
Simplificando:
Passo 7
Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum entre 2 e 3 é 6:
Então:
Resposta
A área compreendida entre as funções $ f(x) = x $ e $ g(x) = x^2 $ no intervalo
é
. Portanto, a alternativa correta é a c.
.