A integral pode ser utilizada para calcular o valor da área compreendida entre o gráfico de uma função e o eixo x. Sabendo isso, também podemos utilizar integrais para calcular o valor da área compreendida entre duas funções. Assinale a alternativa que apresenta a área compreendida entre as funções f(x)=x e g(x)=x2 no intervalo [0,1].
a.1
b.1
c.1 over 6
d.0 e.straight pi

Passo 1

Vamos lá! O exercício está falando sobre como usar integrais para encontrar a área entre duas funções. Aqui, temos as funções $ f(x) = x $ e $ g(x) = x^2 $ no intervalo de $ [0, 1] $. Vamos precisar entender como calcular essa área usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual das duas funções está acima da outra no intervalo dado. Vamos comparar $ f(x) = x $ e $ g(x) = x^2 $ para valores de $ x $ entre 0 e 1.

Passo 3

Para ver qual função está maior, escolhemos um valor de $ x $ dentro do intervalo, por exemplo, $ x = 0.5 $:
x
x = 0.5
Como $ 0.5 > 0.25 $, vemos que $ f(x) $ está acima de $ g(x) $ nesse intervalo.

Passo 4

Agora que sabemos que $ f(x) $ está acima de $ g(x) $, a área entre as duas funções é dada pela integral da diferença delas:
f(x) Á
Substituindo as funções:
g(x) Á

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integraremos $ x $:
x
Depois, integraremos $ x^2 $:
integral x , dx = x^22
Então, a integral completa fica:
x^2 Á

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de 0 a 1:
Área = ( 1^22 - 1^33 ) - ( 0^22 - 0^33 ) Á
Simplificando:
Área = ( 12 - 13 ) - (0 - 0) Á
Área = 12 - 13 Á

Passo 7

Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum entre 2 e 3 é 6:
12 = 36
13 = 26
Então:
Área = 36 - 26 = 16 Á

Resposta

A área compreendida entre as funções $ f(x) = x $ e $ g(x) = x^2 $ no intervalo f(x) = x é g(x) = x^2 . Portanto, a alternativa correta é a c. [0, 1].

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