Um reservatório de água tem o formato de um cilindro reto de volume igual a 54π m³. Supondo que esse cilindro está inscrito em um cubo de aresta igual ao dobro do rio, o volume desse cubo, em m³, é igual a?
a)108
b)144
c)216
d)225
e)343
a)108
b)144
c)216
d)225
e)343
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema que envolve volume de cilindro e cubo. A gente sabe que o volume do cilindro é
e ele está dentro de um cubo cuja aresta é o dobro do raio do cilindro. Precisamos descobrir qual é o volume desse cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
Onde
é o raio e
é a altura do cilindro. Sabemos que
, então:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, como o cilindro está inscrito no cubo, a altura do cilindro
é igual à aresta do cubo. Além disso, o diâmetro do cilindro é igual à aresta do cubo, porque o cilindro está encaixado perfeitamente dentro do cubo. Então, o diâmetro do cilindro
é igual à aresta do cubo
:
Passo 4
Também sabemos que a aresta do cubo é o dobro do raio, como diz o enunciado. Já que
, podemos expressar
em termos de
. Como
, então:
Passo 5
Vamos voltar à equação que tínhamos:
Substituindo
por
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Portanto:
Passo 6
Agora que sabemos que
, podemos encontrar a aresta do cubo
:
Passo 7
Por fim, vamos calcular o volume do cubo usando a fórmula:
Resposta
A alternativa correta é a letra c) 216.