Em uma população, o número de homens é igual ao de mulheres. 5% dos homens são daltônicos e 0,25% das mulheres são daltônicas. Uma pessoa é selecionada ao acaso e verifica-se que é daltônica. Qual a probabilidade de que ela seja mulher?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma população com igual número de homens e mulheres. Sabemos que 5% dos homens são daltônicos e 0,25% das mulheres também são daltônicas. A pergunta é: se a gente escolhe uma pessoa aleatoriamente e ela é daltônica, qual a chance dessa pessoa ser uma mulher? Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa probabilidade condicional. Queremos saber a probabilidade de a pessoa ser mulher dado que ela é daltônica, ou seja, P(Mulher | Daltônico).

Passo 3

Sabemos que a população tem igual número de homens e mulheres, então a probabilidade de escolher um homem é 50%, ou seja, P(Homem) = 0,5, e a probabilidade de escolher uma mulher também é 50%, P(Mulher) = 0,5.

Passo 4

Agora, sabemos as taxas de daltonismo para homens e mulheres:
  • P(Daltônico | Homem) = 5% = 0,05
  • P(Daltônico | Mulher) = 0,25% = 0,0025

Passo 5

Queremos encontrar P(Mulher | Daltônico). Para isso, usamos a fórmula de Bayes:
P(Mulher|Da<ônico) = P(Da<ônico|Mulher) times P(Mulher)P(Da<ônico|Mulher) times P(Mulher) + P(Da<ônico|Homem) times P(Homem) ôôôô

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(Mulher|Da<ônico) = 0,0025 times 0,50,0025 times 0,5 + 0,05 times 0,5 ô

Passo 7

Fazendo as contas:
  • Numerador: $ 0,0025 \times 0,5 = 0,00125 $
  • Denominador: $ 0,00125 + 0,025 = 0,02625 $

Passo 8

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
P(Mulher|Da<ônico) = 0,001250,02625 approx 0,0476 ô

Resposta

A probabilidade de a pessoa ser mulher dado que ela é daltônica é de aproximadamente 4,8%.

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