a) integral raiz1-4 x^2 d x
b) integral 1raiz4-x^2 d x
c) integral 1raiz4+x^2 d x
d) integral 14+x^2 d x
e) integral xraiz1-x^2 d x
f) integral raiz3-4 x^2 d x
g) integral x^2raiz1-x^2 d x
h) integral x^2 raiz1-x^2 d x
i) integral 1x raiz1+x^2 d x
j) integral raiz9-(x-1)^2 d x
l) integral raiz9-4 x^2 d x
m) integral raiz-x^2+2 x+2 d x
n) integral raiz-x^2+2 x+3 d x
o) integral 1x^2 raiz1+x^2 d x

Passo 1

Então, temos a integral integral raiz1 - 4x^2 , dx. Vamos resolver esse problema usando técnicas de integração que envolvem funções trigonométricas. Para isso, precisaremos entender substituições trigonométricas e como elas facilitam a integração de expressões que têm a forma raiza^2 - b^2x^2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz. Temos raiz1 - 4x^2, que se parece com raiza^2 - b^2x^2. Nesse caso, a = 1 e b = 2. Esse tipo de integral geralmente é resolvido usando uma substituição trigonométrica, porque funções trigonométricas podem simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Vamos fazer a substituição trigonométrica adequada. Para uma expressão da forma raiza^2 - b^2x^2, usamos:
x = ab sintheta
Substituindo os valores de a e b, temos:
x = 12 sintheta
Agora, derivamos ambos os lados em relação a theta para encontrar dx:
dx = 12 costheta , dtheta

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
integral raiz1 - 4x^2 , dx = integral raiz1 - 4(12 sintheta)^2 cdot 12 costheta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
1 - 4(14 sin^2theta) = 1 - sin^2theta = cos^2theta
Então, a integral fica:
integral costheta cdot 12 costheta , dtheta = 12 integral cos^2theta , dtheta

Passo 5

Para integrar cos^2theta, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2theta = 1 + cos2theta2
Substituindo na integral:
12 integral 1 + cos2theta2 , dtheta = 14 integral (1 + cos2theta) , dtheta
Integrando termo a termo:
14 ( theta + sin2theta2 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos theta de volta em termos de x. Sabemos que:
x = 12 sintheta implies theta = arcsin(2x)
E também:
sin2theta = 2sinthetacostheta = 2 cdot 2x cdot raiz1 - 4x^2 = 4xraiz1 - 4x^2
Substituindo tudo de volta:
14 ( arcsin(2x) + 4xraiz1 - 4x^22 ) + C = 14 arcsin(2x) + xraiz1 - 4x^22 + C

Resposta

integral raiz1 - 4x^2 , dx = 14 arcsin(2x) + xraiz1 - 4x^22 + C

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