Calcule as integrais impróprias, se possível, ou demonstre que a função não é integrável no intervalo: integral0^1 d xx^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral imprópria . Esse tipo de integral aparece quando a função a ser integrada tem comportamentos especiais no intervalo, como valores infinitos. Aqui, vemos que quando se aproxima de 0, tende ao infinito. Então, vamos precisar entender como lidar com esses casos especiais de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar funções do tipo . A regra básica é que , onde é a constante de integração, desde que . No nosso caso, temos , então .

Passo 3

Aplicando a regra da integração, temos:
integral x^-2 dx = x^-2+1-2+1 + C = x^-1-1 + C = -1x + C
Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a 1 usando essa antiderivada.

Passo 4

A gente avalia a antiderivada nos limites de integração:
[-1x]0^1 = (-11) - (-10) = -1 - (-infty) = -1 + infty = infty
Isso significa que a integral não converge para um valor finito.

Resposta

A integral imprópria não é integrável no intervalo , pois o valor da integral tende ao infinito.

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integral-raiz2^raiz2 12-x^2 d x
Desenvolva em série de Fourier cada uma das funções dada a seguir e faça o prolongamento periódico de cada uma delas.
f(x) = { 0 se -pi < x < 0; sen(x) se 0 < x < pi };
Calcule as integrais impróprias, se possível, ou demonstre que a função não é integrável no intervalo: integral0^1 d xraiz[3]x