Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma integral tripla complicada, mas vou te ajudar a entender passo a passo. O exercício envolve cálculo integral em coordenadas cartesianas e provavelmente vamos precisar usar coordenadas esféricas para simplificar. Nosso objetivo é calcular a integral:

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual estamos integrando. Observando os limites de integração:
  • varia de -3 a 3.
  • Para cada , varia de a .
  • Para cada e , varia de 0 a .
Isso descreve a metade superior de uma esfera com raio 3 centrada na origem.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o integrando: . Isso parece complicado para coordenadas cartesianas, então vamos mudar para coordenadas esféricas, onde as coisas ficam mais simples para esferas.
Em coordenadas esféricas:
  • O elemento de volume

Passo 4

Vamos reescrever a função e os limites de integração em coordenadas esféricas.
A esfera se torna .
Como , isso significa que varia de 0 a .
E varia de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 5

Substituímos o integrando para coordenadas esféricas:
Então, o integrando

Passo 6

Agora, colocamos tudo junto na integral em coordenadas esféricas:
Simplificando o integrando:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando em ordem: , , e depois .

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 9

Agora, substituímos esse resultado na integral:
Vamos integrar em relação a :

Passo 10

Para integrar , podemos usar uma substituição simples:
Seja , então .
Então, a integral se torna:

Passo 11

Agora, substituímos esse resultado na integral:
Integrando em relação a :

Passo 12

Por fim, multiplicamos tudo:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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