Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma integral tripla complicada, mas vou te ajudar a entender passo a passo. O exercício envolve cálculo integral em coordenadas cartesianas e provavelmente vamos precisar usar coordenadas esféricas para simplificar. Nosso objetivo é calcular a integral:
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região sobre a qual estamos integrando. Observando os limites de integração:
-
varia de -3 a 3. - Para cada
, varia de a . - Para cada
e , varia de 0 a .
Isso descreve a metade superior de uma esfera com raio 3 centrada na origem.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o integrando:
. Isso parece complicado para coordenadas cartesianas, então vamos mudar para coordenadas esféricas, onde as coisas ficam mais simples para esferas.
Em coordenadas esféricas:
-
-
-
- O elemento de volume
Passo 4
Vamos reescrever a função e os limites de integração em coordenadas esféricas.
A esfera
se torna
.
Como
, isso significa que
varia de 0 a
.
E
varia de 0 a
para cobrir todo o círculo.
Passo 5
Substituímos o integrando para coordenadas esféricas:
Então, o integrando
Passo 6
Agora, colocamos tudo junto na integral em coordenadas esféricas:
Simplificando o integrando:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando em ordem:
,
, e depois
.
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 9
Agora, substituímos esse resultado na integral:
Vamos integrar em relação a
:
Passo 10
Para integrar
, podemos usar uma substituição simples:
Seja
, então
.
Então, a integral se torna:
Passo 11
Agora, substituímos esse resultado na integral:
Integrando em relação a
:
Passo 12
Por fim, multiplicamos tudo:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
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