integral-3^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 z raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma integral tripla complicada, mas vou te ajudar a entender passo a passo. O exercício envolve cálculo integral em coordenadas cartesianas e provavelmente vamos precisar usar coordenadas esféricas para simplificar. Nosso objetivo é calcular a integral:
integral-3^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 z raizx^2+y^2+z^2 , dz , dy , dx

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual estamos integrando. Observando os limites de integração:
  • varia de -3 a 3.
  • Para cada , varia de a .
  • Para cada e , varia de 0 a .
Isso descreve a metade superior de uma esfera com raio 3 centrada na origem.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o integrando: . Isso parece complicado para coordenadas cartesianas, então vamos mudar para coordenadas esféricas, onde as coisas ficam mais simples para esferas.
Em coordenadas esféricas:
  • O elemento de volume

Passo 4

Vamos reescrever a função e os limites de integração em coordenadas esféricas.
A esfera se torna .
Como , isso significa que varia de 0 a .
E varia de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 5

Substituímos o integrando para coordenadas esféricas:
Então, o integrando

Passo 6

Agora, colocamos tudo junto na integral em coordenadas esféricas:
integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 rho^2 cosphi cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando o integrando:

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^pi2 integral0^3 rho^4 cosphi sinphi , drho , dphi , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo, integrando em ordem: , , e depois .

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a integral0^3 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^3 = 3^55 - 0 = 2435 :

Passo 9

Agora, substituímos esse resultado na integral:
2435 integral0^2pi integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi , dtheta
Vamos integrar em relação a integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi :

Passo 10

Para integrar integral0^1 u , du = [ u^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12 , podemos usar uma substituição simples:
Seja , então .
Então, a integral se torna:

Passo 11

Agora, substituímos esse resultado na integral:
2435 cdot 12 integral0^2pi , dtheta = 24310 integral0^2pi , dtheta
Integrando em relação a integral0^2pi , dtheta = 2pi - 0 = 2pi :

Passo 12

Por fim, multiplicamos tudo:
24310 cdot 2pi = 486pi10 = 243pi5

Resposta

O valor da integral tripla é .

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