Encontre a área da região dentro de um laço da curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrar a área de uma região dentro de um laço da curva dada por
. Isso está relacionado ao estudo de curvas polares na matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula para calcular a área em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a área de uma região em coordenadas polares. A fórmula geral para a área
é:
Aqui,
é a função que descreve a curva e
e
são os limites de integração que correspondem aos ângulos que delimitam a região que queremos calcular.
Passo 3
No nosso caso, a curva é
. Vamos elevar essa função ao quadrado:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração
e
que correspondem a um laço da curva. Para
, a curva forma 5 laços iguais, já que o coeficiente de
é 5 e o fator que multiplica
é ímpar.
Cada laço corresponde a um intervalo de
de
(porque
).
Então, para um laço, podemos integrar de
a
.
Passo 5
Substituindo na fórmula da área:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a integral. Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Então,
Passo 8
Substituindo os limites de integração:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A área da região dentro de um laço da curva
é
unidades de área.
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