Encontre a área da região dentro de um laço da curva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para encontrar a área de uma região dentro de um laço da curva dada por . Isso está relacionado ao estudo de curvas polares na matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula para calcular a área em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a área de uma região em coordenadas polares. A fórmula geral para a área é:
Aqui, é a função que descreve a curva e e são os limites de integração que correspondem aos ângulos que delimitam a região que queremos calcular.

Passo 3

No nosso caso, a curva é . Vamos elevar essa função ao quadrado:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração e que correspondem a um laço da curva. Para , a curva forma 5 laços iguais, já que o coeficiente de é 5 e o fator que multiplica é ímpar.
Cada laço corresponde a um intervalo de de (porque ).
Então, para um laço, podemos integrar de a .

Passo 5

Substituindo na fórmula da área:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a integral. Sabemos que:
Aplicando isso:

Passo 7

Integrando termo a termo:
Então,

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
Sabemos que e , então:

Resposta

A área da região dentro de um laço da curva é unidades de área.

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