Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.
r = sen(θ), r = cos(θ)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região que está dentro de ambas as curvas e . Aqui, estamos trabalhando com coordenadas polares, onde representa a distância do ponto à origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo . Para resolver isso, a gente precisa encontrar onde as duas curvas se encontram e depois calcular a área comum a ambas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Ou seja, queremos saber para quais valores de temos .

Passo 3

Vamos resolver a equação :
Como estamos trabalhando com valores de entre e , consideramos .

Passo 4

Agora, vamos identificar qual das duas curvas está “por cima” em cada intervalo de :
  • Para , .
  • Para , .

Passo 5

A área em coordenadas polares é dada por:
Neste caso, vamos calcular a área da região comum dividindo-a em duas partes:
  1. De a , onde a curva está por cima.
  2. De a , onde a curva está por cima.

Passo 6

Vamos calcular a área de cada parte:
Primeira parte ( a ):
A área está dentro de ambas as curvas, então usamos o menor valor de , que é .
Segunda parte ( a ):
Aqui também usamos o menor valor de , que é .

Passo 7

Agora, vamos resolver as integrais. Sabemos que:

Passo 8

Calculando :
Substituindo:
Calculando :
Substituindo:

Passo 9

Somando as duas áreas:

Resposta

A área da região que está dentro de ambas as curvas é unidades de área.

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