Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região que está dentro de ambas as curvas
e
. Aqui, estamos trabalhando com coordenadas polares, onde
representa a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
. Para resolver isso, a gente precisa encontrar onde as duas curvas se encontram e depois calcular a área comum a ambas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Ou seja, queremos saber para quais valores de
temos
.
Passo 3
Vamos resolver a equação
:
Como estamos trabalhando com valores de
entre
e
, consideramos
.
Passo 4
Agora, vamos identificar qual das duas curvas está “por cima” em cada intervalo de
:
- Para
, . - Para
, .
Passo 5
A área em coordenadas polares é dada por:
Neste caso, vamos calcular a área da região comum dividindo-a em duas partes:
- De
a , onde a curva está por cima. - De
a , onde a curva está por cima.
Passo 6
Vamos calcular a área de cada parte:
Primeira parte (
a
):
A área está dentro de ambas as curvas, então usamos o menor valor de
, que é
.
Segunda parte (
a
):
Aqui também usamos o menor valor de
, que é
.
Passo 7
Agora, vamos resolver as integrais. Sabemos que:
Passo 8
Calculando
:
Substituindo:
Calculando
:
Substituindo:
Passo 9
Somando as duas áreas:
Resposta
A área da região que está dentro de ambas as curvas é
unidades de área.