Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a integral . Vamos resolver isso usando cálculo integral, especificamente técnicas de substituição. Para isso, vamos precisar lembrar como fazer substituições trigonométricas e manipular as funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição conveniente. Vamos deixar . Isso porque a derivada de é , o que aparece na nossa integral.

Passo 3

Calculando a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de :

Passo 5

Sabemos que . Como , então . Substituindo isso na integral:

Passo 6

Vamos distribuir dentro do parêntese:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
Juntando tudo:

Passo 8

Finalmente, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Um bloco cúbico de madeira com aresta de flutua sobre uma interface entre uma camada de óleo e uma camada de água, a densidade do bloco de madeira é igual a . A densidade do óleo é igual a .
a) Qual é a pressão manométrica na face superior do bloco?
b) Qual é a pressão manométrica na face inferior do bloco? Resposta: a) b) .
Um balão de ar quente flutua em equilíbrio próximo ao nível do mar. A massa do material do balão mais as cordas, cesta e passageiros somam 400 kg . O volume do balão é de e o volume das cordas, cesto e passageiros é desprezível. Calcule a densidade do ar quente dentro do balão. A densidade do ar no nível do mar é . Resposta: .
Considere uma casa flutuante sobre as águas do Rio Amazonas. O que permite à casa flutuar é o fato de ela estar sobre 250 garrafas pet ( 2 litros) preenchidas apenas com ar. O conjunto casa mais 250 garrafas sofre um empuxo de . Assuma que a massa de cada garrafa seja 90 gramas.
a) Qual o peso da casa? (Considere o peso do ar dentro das garrafas e a aceleração da gravidade como )
b) Calcule o peso que pode ser acrescentado na casa, sem que ela afunde. Resposta: a) ; b) .
Uma sirena emite som de 1000 Hz e move-se de você para um rochedo à velocidade de . a) Qual a frequência do som que você ouve, proveniente diretamente da sirena? b) Qual a frequência do som que você ouve, proveniente do rochedo? c) Você pode ouvir a frequência do batimento? Resp. a) 970 Hz), b) 1030 Hz e c) Não, é muito alta.