Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a integral
. Vamos resolver isso usando cálculo integral, especificamente técnicas de substituição. Para isso, vamos precisar lembrar como fazer substituições trigonométricas e manipular as funções trigonométricas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição conveniente. Vamos deixar
. Isso porque a derivada de
é
, o que aparece na nossa integral.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de
:
Passo 5
Sabemos que
. Como
, então
. Substituindo isso na integral:
Passo 6
Vamos distribuir
dentro do parêntese:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Juntando tudo:
Passo 8
Finalmente, substituímos
de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Um bloco cúbico de madeira com aresta de
flutua sobre uma interface entre uma camada de óleo e uma camada de água, a densidade do bloco de madeira é igual a
. A densidade do óleo é igual a
.
a) Qual é a pressão manométrica na face superior do bloco?
b) Qual é a pressão manométrica na face inferior do bloco? Resposta: a) b)
.
a) Qual é a pressão manométrica na face superior do bloco?
b) Qual é a pressão manométrica na face inferior do bloco? Resposta: a)
Um balão de ar quente flutua em equilíbrio próximo ao nível do mar. A massa do material do balão mais as cordas, cesta e passageiros somam 400 kg . O volume do balão é de
e o volume das cordas, cesto e passageiros é desprezível. Calcule a densidade do ar quente dentro do balão. A densidade do ar no nível do mar é
. Resposta:
.
Considere uma casa flutuante sobre as águas do Rio Amazonas. O que permite à casa flutuar é o fato de ela estar sobre 250 garrafas pet ( 2 litros) preenchidas apenas com ar. O conjunto casa mais 250 garrafas sofre um empuxo de
. Assuma que a massa de cada garrafa seja 90 gramas.
a) Qual o peso da casa? (Considere o peso do ar dentro das garrafas e a aceleração da gravidade como )
b) Calcule o peso que pode ser acrescentado na casa, sem que ela afunde. Resposta: a) ; b)
.
a) Qual o peso da casa? (Considere o peso do ar dentro das garrafas e a aceleração da gravidade como
b) Calcule o peso que pode ser acrescentado na casa, sem que ela afunde. Resposta: a)
Uma sirena emite som de 1000 Hz e move-se de você para um rochedo à velocidade de
. a) Qual a frequência do som que você ouve, proveniente diretamente da sirena? b) Qual a frequência do som que você ouve, proveniente do rochedo? c) Você pode ouvir a frequência do batimento? Resp. a) 970 Hz), b) 1030 Hz e c) Não, é muito alta.