integral raiztg x sec ^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a integral . Vamos resolver isso usando cálculo integral, especificamente técnicas de substituição. Para isso, vamos precisar lembrar como fazer substituições trigonométricas e manipular as funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição conveniente. Vamos deixar . Isso porque a derivada de é , o que aparece na nossa integral.

Passo 3

Calculando a derivada de dt = sec^2 x , dx Rightarrow dx = dtsec^2 x em relação a :

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral raizt cdot sec^4 x cdot dtsec^2 x = integral raizt cdot sec^2 x , dt :

Passo 5

Sabemos que integral raizt cdot (1 + t^2) , dt . Como , então . Substituindo isso na integral:

Passo 6

Vamos distribuir integral ( raizt + t^2 raizt ) , dt = integral t^1/2 , dt + integral t^5/2 , dt dentro do parêntese:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral t^1/2 , dt = 23 t^3/2 + C1
integral t^5/2 , dt = 27 t^7/2 + C2
Juntando tudo:
23 t^3/2 + 27 t^7/2 + C

Passo 8

Finalmente, substituímos 23 (tan x)^3/2 + 27 (tan x)^7/2 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral 23 (tan x)^32 + 27 (tan x)^72 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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