integral sen(2 x+1)cos ^2(2 x+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente utilizando técnicas de substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões trigonométricas e aplicar substituições que simplifiquem a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração. Observamos que no numerador temos e no denominador . Vamos definir uma substituição onde é igual a .

Passo 3

Com , precisamos calcular a derivada de em relação a para substituir . A derivada de é , então .

Passo 4

Agora, substituímos integral sen(u)cos^2(u) cdot du2 = 12 integral sen(u)cos^2(u) du e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da integral:
Sabemos que sen(u)cos^2(u) = sen(u) cdot sec^2(u) , então é uma função comum em integrais.

Passo 6

Vamos usar uma substituição adicional para resolver a integral. Observamos que a derivada de é , o que está presente no numerador. Vamos definir , então .

Passo 7

Substituindo 12 integral sen(u)cos^2(u) du = 12 integral -dvv^2 = -12 integral v^-2 dv na integral:

Passo 8

Integrando -12 cdot ( v^-1-1 ) + C = 12v + C em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 9

Voltando às variáveis originais, lembramos que 12v + C = 12cos(2x + 1) + C e . Então:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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