Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente utilizando técnicas de substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões trigonométricas e aplicar substituições que simplifiquem a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração. Observamos que no numerador temos e no denominador
. Vamos definir uma substituição onde
é igual a
.
Passo 3
Com
, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir
. A derivada de
é
, então
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Sabemos que
, então
é uma função comum em integrais.
Passo 6
Vamos usar uma substituição adicional para resolver a integral. Observamos que a derivada de
é , o que está presente no numerador. Vamos definir
, então .
Passo 7
Substituindo
na integral:
Passo 8
Integrando
em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Voltando às variáveis originais, lembramos que
e
. Então:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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As assíntotas ao gráfico de
;