integral 3 x raiz7-3 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 3x raiz7-3x^2 , dx. Aqui a gente vai usar cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Precisamos identificar uma parte da expressão que, se substituída, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição. Olhando para a parte dentro da raiz, 7 - 3x^2, é uma boa candidata. Vamos deixar u = 7 - 3x^2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de u. Diferenciando u em relação a x, temos:
du = -6x , dx
Isso significa que -6x , dx = du, ou seja, x , dx = -16 du.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de u:
integral 3x raiz7-3x^2 , dx = integral 3x raizu cdot (-16) du
Simplificando os coeficientes:
= -12 integral raizu , du

Passo 5

Agora, integramos raizu em relação a u. Lembrando que raizu = u^1/2, a integral fica:
-12 cdot 23 u^3/2 + C = -13 u^3/2 + C

Passo 6

Por último, voltamos à variável original x. Substituindo u = 7 - 3x^2:
-13 (7 - 3x^2)^3/2 + C

Resposta

integral 3x raiz7-3x^2 , dx = -13 (7 - 3x^2)^3/2 + C

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