Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente à integração por partes. Para resolver, vamos precisar usar a regra de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vamos chamar de
e
. Na integração por partes, escolhemos
como a função que se simplifica ao derivar e
como o que resta.
Aqui, escolhemos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Para isso, derivamos
e integramos
:
Passo 4
Aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, temos:
Passo 6
Vamos calcular o primeiro termo
:
Para
:
Para
,
não está definido e
. Porém, o limite dessa expressão quando
se aproxima de 0 é 0.
Então:
Passo 7
Agora, nossa expressão fica:
Infelizmente, a integral
não tem uma solução em termos de funções elementares conhecidas. Portanto, para obter um valor numérico, precisaríamos usar métodos de aproximação ou ferramentas computacionais.
Resposta
A integral
é igual a
menos
vezes a integral
. Como a última integral não possui solução em funções elementares, o resultado final envolve expressões que não podem ser simplificadas mais.
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Seja
dada por
. A superfície
obtida pela rotação do gráfico de
em torno do eixo
é chamada de Trombeta de Gabriel. Explique o paradoxo: