integral0^pi4 lg (x) sec ^2(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente à integração por partes. Para resolver, vamos precisar usar a regra de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vamos chamar de u = lg(x) e dv = sec^2(x) , dx e . Na integração por partes, escolhemos como a função que se simplifica ao derivar e como o que resta.
Aqui, escolhemos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx[lg(x)] , dx = 1x ln(10) , dx e v = integral sec^2(x) , dx = tan(x) . Para isso, derivamos e integramos :

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral lg(x) sec^2(x) , dx = lg(x) cdot tan(x) - integral tan(x) cdot 1x ln(10) , dx

Passo 5

Agora, temos:
integral0^pi4 lg(x) sec^2(x) , dx = [ lg(x) tan(x) ]0^pi4 - 1ln(10) integral0^pi4 tan(x)x , dx

Passo 6

Vamos calcular o primeiro termo lg(pi4) tan(pi4) = lg(pi4) cdot 1 = lg(pi4) :
Para [ lg(x) tan(x) ]0^pi4 = lg(pi4) :
Para , não está definido e . Porém, o limite dessa expressão quando se aproxima de 0 é 0.
Então:

Passo 7

Agora, nossa expressão fica:
lg(pi4) - 1ln(10) integral0^pi4 tan(x)x , dx
Infelizmente, a integral não tem uma solução em termos de funções elementares conhecidas. Portanto, para obter um valor numérico, precisaríamos usar métodos de aproximação ou ferramentas computacionais.

Resposta

A integral é igual a menos vezes a integral . Como a última integral não possui solução em funções elementares, o resultado final envolve expressões que não podem ser simplificadas mais.

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