Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente à integração por partes. Para resolver, vamos precisar usar a regra de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vamos chamar de e . Na integração por partes, escolhemos como a função que se simplifica ao derivar e como o que resta.
Aqui, escolhemos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e . Para isso, derivamos e integramos :

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, temos:

Passo 6

Vamos calcular o primeiro termo :
Para :
Para , não está definido e . Porém, o limite dessa expressão quando se aproxima de 0 é 0.
Então:

Passo 7

Agora, nossa expressão fica:
Infelizmente, a integral não tem uma solução em termos de funções elementares conhecidas. Portanto, para obter um valor numérico, precisaríamos usar métodos de aproximação ou ferramentas computacionais.

Resposta

A integral é igual a menos vezes a integral . Como a última integral não possui solução em funções elementares, o resultado final envolve expressões que não podem ser simplificadas mais.

Exercícios relacionados

Seja dada por . A superfície obtida pela rotação do gráfico de em torno do eixo é chamada de Trombeta de Gabriel. Explique o paradoxo: