Integral de sen3x.dx
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de $ \sin^3(x) , dx $. Isso faz parte do estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo $ \sin^3(x) $ de uma forma que facilite a integração. Podemos expressar $ \sin^3(x) $ como $ \sin(x) \cdot \sin^2(x) $.
Passo 3
Sabemos que uma identidade trigonométrica útil é $ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) $. Vamos substituir isso na expressão anterior:
Passo 4
Agora, a integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Vamos definir:
Passo 5
Então, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Isso significa que:
Agora, substituímos na integral:
Que simplifica para:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
O que resulta em:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original $ x $ substituindo $ u = \cos(x) $:
Resposta
A integral de $ \sin^3(x) , dx $ é: