Integral de sen3x.dx

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de $ \sin^3(x) , dx $. Isso faz parte do estudo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo $ \sin^3(x) $ de uma forma que facilite a integração. Podemos expressar $ \sin^3(x) $ como $ \sin(x) \cdot \sin^2(x) $.

Passo 3

Sabemos que uma identidade trigonométrica útil é $ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) $. Vamos substituir isso na expressão anterior:
sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral sin(x) cdot (1 - cos^2(x)) , dx
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Vamos definir:
u = cos(x)

Passo 5

Então, calculamos a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u
Isso significa que:
x
Agora, substituímos na integral:
du = -sin(x) , dx
Que simplifica para:
-du = sin(x) , dx

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
-integral 1 , du + integral u^2 , du
O que resulta em:
-u + u^33 + C
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original $ x $ substituindo $ u = \cos(x) $:
x

Resposta

A integral de $ \sin^3(x) , dx $ é:
sin^3(x) , dx

Exercícios relacionados