integral raiz3+s(s+1)^2 d s;

Passo 1

Vamos resolver a integral integral raiz3+s(s+1)^2 , ds. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integração que envolve funções polinomiais e raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
u = 3 + s
Assim, a derivada de u em relação a s é:
duds = 1 Rightarrow du = ds
Isso significa que ds = du.

Passo 3

Agora, precisamos expressar (s + 1)^2 em termos de u. Sabemos que:
u = 3 + s Rightarrow s = u - 3
Portanto:
s + 1 = (u - 3) + 1 = u - 2
Então, (s + 1)^2 = (u - 2)^2.

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral raizu cdot (u - 2)^2 , du
Agora, vamos expandir (u - 2)^2:
(u - 2)^2 = u^2 - 4u + 4
Então, a integral fica:
integral raizu cdot (u^2 - 4u + 4) , du

Passo 5

Distribuindo raizu na expressão, obtemos:
integral ( u^1/2 cdot u^2 - u^1/2 cdot 4u + u^1/2 cdot 4 ) , du = integral ( u^5/2 - 4u^3/2 + 4u^1/2 ) , du

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo usando a regra da potência para integrais:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso a cada termo:
  • Para u^5/2:
integral u^5/2 , du = u^7/27/2 = 27u^7/2
  • Para -4u^3/2:
integral -4u^3/2 , du = -4 cdot u^5/25/2 = -85u^5/2
  • Para 4u^1/2:
integral 4u^1/2 , du = 4 cdot u^3/23/2 = 83u^3/2

Passo 7

Juntando todos os resultados e adicionando a constante de integração C, temos:
27u^7/2 - 85u^5/2 + 83u^3/2 + C

Passo 8

Finalmente, substituímos u = 3 + s de volta na expressão:
27(3 + s)^7/2 - 85(3 + s)^5/2 + 83(3 + s)^3/2 + C

Resposta

A integral integral raiz3+s(s+1)^2 , ds é igual a:
27(3 + s)^7/2 - 85(3 + s)^5/2 + 83(3 + s)^3/2 + C

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