integral tan ^5 x sec ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral integral tan^5 x sec^2 x , dx. Isso envolve funções trigonométricas e técnicas de integração, especificamente a substituição. Vamos precisar lembrar como a derivada da tangente está relacionada à secante ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma substituição. Vamos deixar u = tan x. A razão para isso é que a derivada de tan x é sec^2 x, que já está presente na nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = sec^2 x Rightarrow du = sec^2 x , dx
Perceba que sec^2 x , dx aparece exatamente na nossa integral original, o que facilita a substituição.

Passo 4

Substituímos u = tan x e du = sec^2 x , dx na integral:
integral tan^5 x sec^2 x , dx = integral u^5 , du
Agora a integral está em termos de u, o que é mais simples de resolver.

Passo 5

Vamos integrar u^5 em relação a u:
integral u^5 , du = u^66 + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos u de volta para tan x:
u^66 + C = tan^6 x6 + C

Resposta

A integral de tan^5 x sec^2 x , dx é:
tan^6 x6 + C

Exercícios relacionados

Deticrmine o comprimento de arco das seguinte curvas.
r(t) = (4 ln t, t^2, 4 t), 1 <= t <= 3
Ache a equação do plano que passa pelos os pontos
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
integral tan ^3(2 x) sec (2 x) d x
Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.
lim t 0(cos t, t^2+3, tan t)