Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral
. Isso envolve funções trigonométricas e técnicas de integração, especificamente a substituição. Vamos precisar lembrar como a derivada da tangente está relacionada à secante ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma substituição. Vamos deixar
. A razão para isso é que a derivada de
é
, que já está presente na nossa integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Perceba que
aparece exatamente na nossa integral original, o que facilita a substituição.
Passo 4
Substituímos
e
na integral:
Agora a integral está em termos de
, o que é mais simples de resolver.
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, substituímos
de volta para
:
Resposta
A integral de
é:
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Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.