integral tan ^3(2 x) sec (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral integral tan^3(2x) sec(2x) , dx. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que tan^2(u) = sec^2(u) - 1. Vamos aplicar isso na nossa integral:
integral tan^3(2x) sec(2x) , dx = integral tan^2(2x) cdot tan(2x) sec(2x) , dx
Substituindo tan^2(2x) por sec^2(2x) - 1:
= integral (sec^2(2x) - 1) cdot tan(2x) sec(2x) , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = sec(2x)
Então, precisamos calcular du em termos de dx:
du = ddx [sec(2x)] , dx = 2 sec(2x) tan(2x) , dx
Notamos que temos tan(2x) sec(2x) , dx na nossa integral original, que aparece na expressão de du. Então, podemos resolver para tan(2x) sec(2x) , dx:
tan(2x) sec(2x) , dx = du2

Passo 4

Substituindo tudo na nossa integral, temos:
integral (sec^2(2x) - 1) cdot tan(2x) sec(2x) , dx = integral (sec^2(2x) - 1) cdot du2
Mas como u = sec(2x), então sec^2(2x) = u^2. Substituindo:
= 12 integral (u^2 - 1) , du

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 integral u^2 , du - 12 integral 1 , du = 12 cdot u^33 - 12 cdot u + C
Simplificando:
= u^36 - u2 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para expressar em termos de x. Lembrando que u = sec(2x):
= sec^3(2x)6 - sec(2x)2 + C

Resposta

A integral integral tan^3(2x) sec(2x) , dx é igual a sec^3(2x)6 - sec(2x)2 + C, onde C é a constante de integração.

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