Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.
lim t 0(cos t, t^2+3, tan t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o limite de uma função vetorial existe quando lim t 0(cos t, t^2+3, tan t) se aproxima de 0. Se existir, a gente também vai calcular esse limite. A função que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções individuais e depois ver se conseguimos juntar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para existirem limites de funções vetoriais, cada uma das componentes da função precisa ter um limite que exista naquele ponto. Ou seja, precisamos verificar o limite de cada uma das três componentes:

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente: limt to 0 cos t = cos 0 = 1 . Sabemos que a função cosseno é contínua em todos os pontos, então o limite quando se aproxima de 0 é simplesmente o valor da função em 0:

Passo 4

Agora, a segunda componente: limt to 0 (t^2 + 3) = 0^2 + 3 = 3 . Aqui também temos uma função polinomial, que é contínua em todos os pontos. Então, o limite é:

Passo 5

Por último, a terceira componente: limt to 0 tan t = 0 . A função tangente é contínua onde está definida, e sabemos que . Então:

Resposta

Como todas as três componentes têm limites que existem quando (1, 3, 0) se aproxima de 0, o limite da função vetorial também existe e é dado por:

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