Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o limite de uma função vetorial existe quando
se aproxima de 0. Se existir, a gente também vai calcular esse limite. A função que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções individuais e depois ver se conseguimos juntar tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para existirem limites de funções vetoriais, cada uma das componentes da função precisa ter um limite que exista naquele ponto. Ou seja, precisamos verificar o limite de cada uma das três componentes:
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente:
. Sabemos que a função cosseno é contínua em todos os pontos, então o limite quando
se aproxima de 0 é simplesmente o valor da função em 0:
Passo 4
Agora, a segunda componente:
. Aqui também temos uma função polinomial, que é contínua em todos os pontos. Então, o limite é:
Passo 5
Por último, a terceira componente:
. A função tangente é contínua onde está definida, e sabemos que
. Então:
Resposta
Como todas as três componentes têm limites que existem quando
se aproxima de 0, o limite da função vetorial também existe e é dado por:
Exercícios relacionados
Obtenha o volume do sólido obtido pela revolução da região delimitada por:
e
em torno do eixo
.
Determine todos os valores de
para quais a função vetorial é contínua.